Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
(von links) angewendet, wobei wieder u :≡ y/‖y‖ ist
Beispiel 2.22: Gegeben seien die zwei Punkte X = (4, 8, −1) und
Y = (1, 2, 2) im R 3 , also die zwei Vektoren x = ( 4 8 −1 ) T und
y = ( 1 2 2 ) T . Man projiziere die Strecke OX orthogonal auf die
durch die Punkte O und Y laufende Gerade.
Dazu ist bloss die reelle Version der Formel (2.61) auszuwerten, wobei es
am effizientesten ist, zuerst y T x = 18 und ‖y‖ 2 = 9 zu berechnen (und
nicht etwa die Matrix yy T ). Dann wird
P y x = 1
‖y‖ 2 y (yT x) = 2 y = ( 2 4 4 ) T .
Es wird also X auf X ′ = (2, 4, 4) projiziert.
Die Projektionsmatrix P y aus (2.62) hat zwei interessante Eigenschaften:
P H y = P y , P 2 y = P y . (2.63)
Die erste bedeutet, dass P y Hermitesch oder, falls reell, symmetrisch
ist. Aufgrund der zweiten bezeichnet man P y als idempotent
[idempotent]. Diese zwei Eigenschaften sind charakteristisch
für orthogonale Projektionen und können zu deren Definition verwendet
werden. P y ist aber eine spezielle orthogonale Projektion,
weil ja auf eine Gerade projiziert wird. Im R 3 (und allgemeiner im
E n ) kann man aber auch auf eine Ebene projizieren. Wir werden
darauf zurückkommen.
2.6 Matrizen als lineare Abbildungen
Ist A ∈ E m×n irgend eine m × n Matrix, so kann man die ebenfalls
mit A bezeichnete Abbildung
A : E n → E m , x ↦→ Ax (2.64)
betrachten. Sie hat zwei grundlegende Eigenschaften: für alle x,
˜x ∈ E n und alle γ ∈ E gilt
A(x + ˜x) = Ax + A˜x , A(γx) = γAx . (2.65)
Man kann sie auch zusammenfassen in
A(γx + ˜x) = γ(Ax) + (A˜x) . (2.66)
Wir werden in Kapitel 5 sehen, dass diese Eigenschaften per Definition
charakteristisch sind für eine lineare Abbildung [linear
transformation].
Während der Definitionsbereich der Abbildung A aus (2.64) immer
der ganze Raum E n ist, ist das Bild [image] von A,
im A :≡ {Ax ∈ E m ; x ∈ E n } (2.67)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-25