Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
Nach Satz 4.9 kann man M zu einer Basis von V ergänzen. Es sei
N = {b l+1 , . . . , b n } die Menge zusätzlicher Basisvektoren und
U ′ :≡ span N = span {b l+1 , . . . , b n } (4.33)
der von ihnen aufgespannte Unterraum. Damit lässt sich die Koordinatendarstellung
eines beliebigen x ∈ V eindeutig aufteilen in
x =
l∑
ξ k b k
k=1
} {{ }
u ∈ U
+
n∑
ξ k b k
k=l+1
{{ }
u ′ ∈ U ′ . (4.34)
}
Definition: Zwei Unterräume U und U ′ eines Vektorraumes V
mit der Eigenschaft, dass jedes x ∈ V eine eindeutige Darstellung
x = u + u ′ mit u ∈ U , u ′ ∈ U ′ (4.35)
hat, heissen komplementär [complementary]. Wir nennen dann
V die direkte Summe [direct sum] von U und U ′ und schreiben
V = U ⊕ U ′ (4.36)
Beispiel 4.28: In der Situation von Beispiel 4.26 ist klar, dass man P 4
als direkte Summe der geraden Polynome vom Grad 4 und der ungeraden
Polynome vom Grad 3 schreiben kann:
P 4 = G 4 ⊕ U 3 . (4.37)
Aber es ist auch
oder
P 4 = span {p 1 , p 2 , p 3 } ⊕ U 3
P 4 = span {p 1 , p 2 , p 3 } ⊕ span {t + p 1 (t), t + t 3 + p 3 (t)} .
Allgemeiner kann man einen Vektorraum als direkte Summe mehrerer
Unterräume darstellen.
Beispiel 4.29: Wir können die Beispiele 4.16, 4.21, 4.26 und 4.28
fortsetzen: Da p 1 , p 2 , p 3 linear unabhängig sind, ist zum Beispiel
eine direkte Summe und ebenso
G 4 = span {p 1 } ⊕ span {p 2 } ⊕ span {p 3 }
P 4 = span {p 1 } ⊕ span {p 2 } ⊕ span {p 3 } ⊕ U 3 .
Hier könnte man U 3 auch noch als eine direkte Summe von zwei eindimensionalen
Unterräumen darstellen.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-17