Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Kapitel 2
Matrizen und Vektoren im R n und C n
Matrizen, Zeilen- und Kolonnenvektoren sind die Basiselemente der
Anwendungs-orientierten linearen Algebra, also insbesondere der
auf Computern implementierten numerischen linearen Algebra. Es
lassen sich aber auch typische Fragen der analytischen Geometrie
des Raumes als Matrizenaufgaben formulieren. Wir werden später
sogar sehen, dass sich viele Aufgabenstellungen aus abstrakteren
Räumen, jedenfalls solange diese endlichdimensional sind, auf Matrizenaufgaben
zurückführen lassen, nämlich indem man im Raum
ein Koordinatensystem festlegt. Matrizen und die entsprechenden
Vektoren sind also für das Weitere von zentraler Bedeutung.
2.1 Matrizen, Zeilen- und Kolonnenvektoren
Definitionen: Eine m × n–Matrix [m × n matrix; m-by-n matrix]
(pl. Matrizen [matrices]) ist ein rechteckiges Schema von
mn (reellen oder komplexen) Zahlen, genannt Elemente [elements]
und angeordnet in m Zeilen [rows] und n Spalten oder Kolonnen
[columns]. Das Paar (m, n) definiert die Grösse [size] der Matrix.
Das (i, j)–Element der Matrix 1 A, welches in der i–ten Zeile und in
der j–ten Kolonne steht, bezeichnen wir mit a ij oder (A) ij . Also:
⎛
A = ⎜
⎝
⎞
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
⎟
. . .
a m1 a m2 · · · a mn
⎠ . (2.1)
Manchmal schreibt man auch etwas ungenau A = ( a ij
)
.
Die Elemente a jj (j = 1, 2, . . . , min{m, n}) heissen Diagonalelemente
[diagonal elements]. Die Gesamtheit der Diagonalelemente
bildet die (Haupt-)Diagonale [(main) diagonal] der Matrix A.
Eine m × 1–Matrix heisst Spaltenvektor oder Kolonnenvektor
[column vector] oder auch m–Vektor [m–vector].
Eine 1 × n–Matrix nennen wir Zeilenvektor [row vector] oder n–
Tupel [n–tuple].
1 Wir wählen für Matrizen Grossbuchstaben. Zur besseren Kennzeichnung
sind sie in diesem Skript halbfett gesetzt, was in Handschrift durch Unterstreichen
oder Unterwellen markiert wird, aber auch weggelassen werden kann,
wenn keine Verwechslungsgefahr besteht.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-1