Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
also eine Erzeugendensystem für E 12 . Offensichtlich würden dazu schon
die Vektoren a 2 = e 2 und a 3 = 2e 1 reichen; diese sind auch ein Erzeugendensystem
für E 12 . In der Tat spannen irgend zwei der vier Vektoren
E 12 auf. Definiert man die Matrix A = ( a 1 a 2 a 3 a 4
)
, so ist
span {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } = {y = A x ; x ∈ R 4 } ⊂ R 3 .
Beispiel 4.11: Die m + 1 Monome [monomials] 1, t, t 2 , . . . , t m sind
ein Erzeugendensystem des Raumes P m aller Polynome vom Grade ≤ m.
Offensichtlich reichen weniger als m + 1 Polynome nicht.
Beispiel 4.12: Die (unendlich vielen) Monome 1, t, t 2 , . . . bilden
ein Erzeugendensystem des Raumes P aller Polynome aus Beispiel 4.5.
Jedes Polynom hat ja einen endlichen Grad m und lässt sich deshalb als
Linearkombination von 1, t, t 2 , . . . , t m schreiben.
4.3 Lineare Abhängigkeit, Basen, Dimension
Die vorangehenden Beispiele lassen vermuten, dass sich gewisse Erzeugendensysteme
dadurch auszeichnen, dass sie aus einer minimalen
Anzahl von Vektoren bestehen. In grösseren Erzeugendensystemen
lassen sich ein Teil der gegebenen Vektoren als Linearkombinationen
der anderen Vektoren darstellen.
Definition: Die Vektoren a 1 , . . . , a l ∈ V heissen linear abhängig
[linearly dependent], falls es Skalare γ 1 , . . . , γ l gibt, die nicht
alle 0 sind und für die gilt
γ 1 a 1 + · · · + γ l a l = o . (4.16)
Andernfalls, d.h. wenn (4.16) impliziert dass γ 1 = · · · = γ l = 0, sind
die Vektoren linear unabhängig [linearly independent].
Lemma 4.5 Die l ≥ 2 Vektoren a 1 , . . . a l sind linear abhängig genau
dann, wenn sich einer dieser Vektoren als Linearkombination
der andern schreiben lässt.
Beweis: Sind die Vektoren a 1 , . . . a l linear abhängig, gilt (4.16) mit
γ k ≠ 0 für ein k, 1 ≤ k ≤ l; folglich ist
Die Umkehrung ist trivial.
a k = −
l∑
j=1
j≠k
γ j
γ k
a j .
Beispiel 4.13:
denn es ist
Die vier Vektoren von Beispiel 4.10 sind linear abhängig,
2a 1 − 4a 2 − a 3 + 0a 4 = o bzw. a 3 = 2a 1 − 4a 2 .
LA-Skript 4-8 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht