Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
In L(X, Y ) können wir auf natürliche Art eine Addition und eine
skalare Multiplikation definieren:
F + G : x ∈ X ↦→ (F + G)(x) :≡ F x + Gx
(∀F, G ∈ L(X, Y )),
αF : x ∈ X ↦→ (αF )(x) :≡ αF x
(∀α ∈ E, ∀F ∈ L(X, Y )).
(6.62)
Damit wird L(X, Y ) selbst zu einem Vektorraum, wie man leicht
verifiziert.
Beispiel 6.11: Die m×n Matrizen können als Elemente von L(E n , E m )
aufgefasst werden. Dabei sind Addition und skalare Multiplikation wie
in Kapitel 2 durch A + B und αA definiert.
Nun werden wir im Vektorraum L(X, Y ) eine Norm definieren.
Definition: Die auf L(X, Y ) durch die Normen ‖.‖ X und ‖.‖ Y
induzierte Operatornorm [operator norm] ist definiert durch
‖.‖ : L(X, Y ) → R ,
‖F x‖ Y
F ↦→ ‖F ‖ :≡ sup . (6.63)
x≠o ‖x‖ X
Ist X = Y = E n , so dass F durch eine quadratische Matrix A gegeben
ist, heisst ‖A‖ die durch die Vektornorm (in E n ) induzierte
Matrixnorm von A. Sie ist also definiert durch
‖.‖ : E n×n → R ,
‖Ax‖
A ↦→ ‖A‖ :≡ sup
x≠o ‖x‖ . (6.64)
Verwendet man in E n die Euklidische 2–Norm, so heisst die induzierte
Matrixnorm Spektralnorm [spectral norm] oder 2–Norm
[2–norm]; sie wird auch mit ‖.‖ 2 bezeichnet:
‖Ax‖ 2
‖A‖ 2 :≡ sup . (6.65)
x≠o ‖x‖ 2
Statt “die von den Vektornormen induzierte Operator- oder Matrixnorm”
sagt man auch “die den Vektornormen untergeordnete
Operatornorm bzw. Matrixnorm [subordinate matrix norm]”.
Die Definitionen (6.63)–(6.65) lassen sich vereinfachen: führt man
zum Beispiel im Bruch in (6.63) α :≡ ‖x‖ X und ˜x :≡ x/α ein, so
sieht man, dass wegen ‖˜x‖ = 1 und
‖F x‖ Y =
(
∥ x
)∥ ∥∥
∥αF
α Y
(
∥ x
)∥ ∥∥
= α ∥F = ‖x‖ X ‖F ˜x‖ Y
α Y
folgendes gilt (wir ersetzen ˜x wieder durch x):
LA-Skript 6-20 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht