Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 3 — LR–Zerlegung
Speicherbedarf und Rechenaufwand
Wie man unseren Beispielen aus Kapitel 1 entnimmt, siehe etwa
Beispiel 1.9 auf Seite 1-5, lassen sich die im Laufe einer LR–
Zerlegung erzeugten und noch gebrauchten Daten jederzeit in einem
Datenfeld der Grösse n × n unterbringen. Die nicht-null Elemente
von L (ausser die auf 1 normierten Diagonalelemente) kann man
nämlich genau dort abspeichern, wo Nullen erzwungen werden.
Bei Zeilenvertauschungen braucht man eine zusätzliche Kolonne,
um zum Beispiel die ursprünglichen Zeilennummern abzuspeichern.
Der Rechenaufwand für die LR–Zerlegung und das Vor- und Rückwärtseinsetzen
für l verschiedene rechte Seiten ist genau gleich wie
für die Gauss-Elimination gemäss Algorithmus 1.1 mit l Konstantenkolonnen.
Es kommt nicht darauf an, ob man Restgleichungssysteme
nachführt oder die kompakten Formeln aus Algorithmus 3.1
benutzt. Es ist allerdings von Vorteil, wenn man die reziproken
Pivotelemente r −1
kk
berechnet und abspeichert. Es sind dann total
nur n Divisionen nötig. (Divisionen brauchen auf vielen Computern
mehr Zeit als Multiplikationen.)
Im j-ten Schritt von Algorithmus 1.1 braucht man dann
1 Division für (a (j−1)
jj ) −1 [Formel (1.10)]
n − j Multiplikationen für die l kj [Formel (1.10)]
(n − j) 2 Add. & Mult. für die a (j)
ki
l(n − j) Add. & Mult. für die b (j)
k
[Formel (1.11a)]
[Formel (1.11b)]
und für den k-ten Teilschritt des l-maligen Rückwärtseinsetzens
l(n − k) Additionen für x k [Formel (1.12)]
l(n − k + 1) Multiplikationen für x k [Formel (1.12)]
Ersetzen wir in der letzten Formel den Index k durch j, so können
wir alle Beiträge für festes j addieren:
1 Division
(n − j) 2 + (2l + 1)(n − j) + l Multiplikationen
(n − j) 2 + 2l(n − j) Additionen
Diese Zahlen sind zu summieren von j = 1 bis j = n (wobei es im
letzten Schritt bloss eine Division im Hinblick auf das Rückwärtseinsetzen
gibt). Wenn wir k := n − j setzen, so erhalten wir zum
Beispiel für die Multiplikationen
∑n−1
(
k 2 + k(2l + 1) + l ) =
k=0
n(n − 1)(2n − 1)
6
= 1 3 n3 + ln 2 + O(n) ,
+
n(n − 1)(2l + 1)
2
+ ln
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 3-7