Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
Man kann als weitere elementare Zeilen-Operation die Multiplikation
einer Gleichung mit einer von null verschiedenen Zahl zulassen.
Es zeigt sich aber, dass man ohne diese Operation auskommt. Beim
Rechnen von Hand wird sie aber manchmal mit Vorteil angewandt.
Zwei Gleichungssysteme, welche die gleiche Lösungsmenge besitzen,
nennen wir äquivalent [equivalent].
Wir können das Vorgehen, das wir im Prinzip auch im allgemeinen
Falle m ≠ n beibehalten werden, damit wie folgt zusammenfassen:
Grundidee der Gauss-Elimination:
Ein lineares System aus m Gleichungen in n Unbekannten
wird durch die elementaren Zeilen-Operationen i)
und ii) schrittweise in äquivalente, gleich grosse Systeme
verwandelt, wobei es nach j Schritten ein Teilsystem
von m − j Gleichungen gibt, das nur noch
höchstens n − j Unbekannte enthält.
Normalerweise wird man zunächst x 1 eliminieren, dann x 2 , und so
weiter bis und mit x n−1 . Dann kann man x n berechnen, daraus x n−1 ,
und so weiter, bis man schliesslich x 1 erhält. Ist m = n und ist x n
eindeutig bestimt, hat man auf diese Weise die eindeutige Lösung
des Systems bestimmt. Im allgemeinen geht das nicht immer so,
aber im Normalfall funktioniert das mindestens theoretisch, d.h.
wenn man von allfälligen Problemen mit Rundungsfehlern absieht.
In der Box 1.1 auf Seite 1-8 ist dieser Algorithmus zunächst nochmals
formuliert für diesen Normalfall. Kann man in der angedeuteten
Weise eine eindeutige Lösung eines quadratischen linearen
Gleichungssystems berechnen, so nennen wir dieses regulär [nonsingular],
andernfalls heisst es singulär [singular].
Bemerkungen:
1) Für ein reguläres n×n-System braucht es n − 1 Eliminationsschritte;
dann hat das resultierende äquivalente System obere Dreiecksgestalt.
Das letzte, nte Pivotelement a (n−1)
nn braucht man nur
beim Rückwärtseinsetzen.
2) Wir nummerieren die Zeilen (Gleichungen) und Kolonnen (Unbekannte)
im Restgleichungssystem immer entsprechend der Position
im ganzen System. Die Pivotzeile im j-ten Eliminationsschritt hat
anfänglich den Index p, nach dem Zeilenvertauschen den Index j.
3) Im Prinzip kann jedes von 0 verschiedene Element in der vordersten
Kolonne eines Restgleichungssystems als Pivot gewählt werden.
Für die Handrechnung ist natürlich eine Eins besonders praktisch.
Beim Rechnen mit rellen Zahlen beschränkter Genauigkeit
(insbesondere in Gleitkomma-Arithmetik) ist es aber wichtig, Elemente
zu wählen, die einen grossen Absolutbetrag haben relativ
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-7