Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 5 — Lineare Abbildungen Lineare Algebra (2007)
Definition: Der Rang [rank] einer linearen Abbildung F ist
gleich der Dimension des Bildes von F :
Rang F :≡ dim im F .
Damit kann man die Dimensionsformel auch so schreiben:
dim X − dim ker F = Rang F . (5.29)
Korollar 5.8 Es gelten die folgenden drei Äquivalenzen:
(i) F : X → Y injektiv ⇐⇒ Rang F = dim X
(ii) F : X → Y bijektiv, d.h. ⇐⇒ Rang F = dim X
Isomorphismus
= dim Y
(iii) F : X → X bijektiv, d.h. ⇐⇒ Rang F = dim X
Automorphismus ⇐⇒ ker F = o
Beweis: Aussage (i) folgt aus (5.29) und Satz 5.6.
Um (ii) zu beweisen, benützt man zusätzlich Lemma 5.4 und die Tatsache,
dass jeder echte Unterraum von Y (“echt” heisst ≠ Y ) geringere Dimension
als Y hat. Hieraus folgt dann: im F = Y ⇐⇒ Rang F = dim Y .
(iii) ergibt sich aus (ii) als Spezialfall und aus (5.29).
Definition: Zwei Vektorräume X and Y heissen isomorph [isomorphic],
falls es einen Isomorphismus F : X → Y gibt.
Satz 5.9 Zwei Vektorräume endlicher Dimension sind genau
dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben.
Beweis: (i) Sind X und Y isomorph, so gibt es einen Isomorphismus
F : X → Y , und nach Korollar 5.8 (ii) folgt dim X = dim Y .
(ii) Ist dim X = dim Y = n, und sind {b 1 , . . . , b n } und {c 1 , . . . , c n } Basen
von X und Y , so ist durch die Forderung
F b k = c k (k = 1, . . . , n)
eine lineare Abbildung F eindeutig definiert (vgl. (5.14), wo in diesem
Falle A = I ist). Dabei ist natürlich
im F = span {c 1 , . . . , c n } = Y .
Zudem gilt ker F = {o}, denn ist x = ∑ ξ k b k und F x = o, also
o = F x =
n∑
k=1
ξ k F b k =
n∑
k=1
ξ k c k ,
so folgt wegen der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren c k , dass
ξ 1 = · · · = ξ n = 0.
LA-Skript 5-10 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht