Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 11 — Singulärwertzerlegung
⎛
⎜
⎝
⎞
68 −74
14 −52
⎟
46 −28 ⎠
}
−17 −44
{{ }
A
=
⎛
⎜
⎝
und liefert die additive Rang-1–Zerlegung
A =
⎛
⎜
⎝
⎞
0.8
0.4
⎟
0.4 ⎠ 125
}{{}
0.2
u 1
} {{ }
0.8000 0.2000 −0.5488 0.1372
0.4000 −0.4000 0.5831 0.5831
0.4000 0.4000 0.5831 −0.5831
0.2000 −0.8000 −0.1372 −0.5488
⎞
⎟
⎠ ×
} {{ }
U
⎛ ⎞
125 0
( )
× ⎜ 0 50
⎟ 0.60 0.80
⎝ 0 0 ⎠
(11.14)
−0.80 0.60
0 0
} {{ }
} {{ } V
Σ
⎛
0.2
( )
0.6 0.8 + ⎜ −0.4
( )
⎟
} {{ } ⎝ 0.4 ⎠ 50 −0.8 0.6 .
}{{} } {{ }
σ 1 v 1 −0.8 σ 2 v 2
} {{ }
u 2
⎞
(11.15)
Die Schlussformeln (11.14) und (11.15) im vorangehenden Beispiel
11.1 zeigen, dass die letzten zwei Kolonnen von U effektiv nicht
benutzt werden. Das sieht man in der Tat allgemein schon in der
Darstellung (11.10) der Singulärwertzerlegung oder in unserer Definition
(11.8) von U r . Offensichtlich gilt:
Korollar 11.2 Bezeichnen wir wie in (11.6), (11.9) und (11.10)
mit V r die Matrix aus den r ersten Kolonnen von V, mit U r die
Matrix aus den r ersten Kolonnen von U und mit Σ r die führende
r × r Hauptuntermatrix von Σ, so lässt sich die Singulärwertzerlegung
(11.11c) in der kompakten Form
A = U r Σ r V H r =
r∑
u k σ k vk H (11.16)
k=1
schreiben, worin die m × r Matrix U und die n × r Matrix V
orthonormale Kolonnen haben und die r × r Diagonalmatrix Σ r
positive Diagonalelemente σ 1 ≥ · · · ≥ σ r > 0 hat.
11.2 Die Singulärwertzerlegung: Folgerungen
Aus der Singulärwertzerlegung lassen sich leicht eine ganze Reihe
von interessanten Folgerungen ziehen.
Korollar 11.3 Die Unterräume R(A) und N (A H ) sind zueinander
orthogonal und spannen zusammen den Bildraum E m auf.
Analog sind die Unterräume R(A H ) und N (A) zueinander orthogonal
und spannen zusammen den Definitionsraum E n auf.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 11-5