Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
3.3 Block–LR–Zerlegung und LR–Updating
Die Gauss-Elimination und ihre Interpretation als LR–Zerlegung
ist auch mit Blockmatrizen machbar, deren Blöcke als unteilbare
Einheiten aufgefasst werden. Allerdings muss man die den Pivotelementen
entsprechenden Blöcke invertieren können, d.h. sie müssen
regulär sein, also insbesondere quadratisch. Wir wollen nur den Fall
einer regulären 2 × 2 Blockmatrix betrachten,
( ) A B
à :≡
, (3.44)
C D
wobei A auch regulär sein muss (und damit D sicher quadratisch).
In Anlehnung an die Gauss-Elimination subtrahieren wir das CA −1 –
fache der ersten Blockzeile von der zweiten, was
( ) A B
mit S :≡ D − CA −1 B (3.45)
O S
ergibt. Der Block S heisst Schur–Komplement 1 [Schur complement].
Die Operation, die (3.44) in (3.45) überführt, kann man als
Matrixmultiplikation darstellen:
(
) ( ) ( )
I O A B A B
−CA −1
=
. (3.46)
I C D O S
Hier ist die erste 2×2 Blockmatrix ganz einfach zu invertieren; man
muss bloss das Vorzeichen des (2, 1)–Blockes ändern:
(
I
−CA −1
) −1 (
O
=
I
I
CA −1
)
O
. (3.47)
I
Damit ergibt sich aus (3.46) die Block–LR–Zerlegung [Block LR
decomposition]
( ) (
) ( )
A B I O A B
=
C D CA −1
. (3.48)
I O S
} {{ } } {{ } } {{ }
≡: Ã ≡: ˜L ≡: ˜R
Wir können diese Zerlegung noch insofern modifizieren, als wir den
(1, 1)–Block A auf die zwei Faktoren aufteilen können. Ist zum
Beispiel eine LR–Zelegung A = LR dieses Blockes möglich und
bekannt, so können wir wegen A −1 = R −1 L −1 statt (3.48) schreiben
( ) ( ) ( )
A B L O R L
=
−1 B
, (3.49)
}
C D
{{ }
≡: Ã
}
CR −1
{{
I
}
≡: ˜L
}
O S
{{ }
≡: ˜R
1 Issai Schur (10.1.1875 – 10.1.1941), ab 1916 Professor in Berlin, 1938
Emigration nach Palästina. Seine theoretischen Arbeiten enthalten auch wichtige
Algorithmen.
LA-Skript 3-12 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht