Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
oder ausgeschrieben
⎛
A = ⎝
⎛
= ⎝
−3 1 −3
12 4 −12
0 0 0
−7 2 −6
12 −2 12
12 −3 11
⎞
⎛
⎠ + ⎝
⎞
⎠ .
0 0 0
24 −6 24
8 −2 8
⎞
⎛
⎠ + ⎝
−4 1 −3
0 0 0
4 −1 3
⎞
⎠
Wie findet man aber allgemein eine Basis aus Eigenvektoren? Liefert
unser Algorithmus 9.1 eine, falls es eine gibt?
In Beispiel 9.7 gab es drei verschiedene Eigenwerte und die zugehörigen
Eigenvektoren sind linear unabhängig, denn andernfalls
wäre V nicht invertierbar. In der Tat gilt allgemein:
Satz 9.11 Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear
unabhängig.
Beweis: Der Satz ist richtig für m = 1, da o nicht ein Eigevektor ist.
Wir nehmen an, der Satz sei richtig für m Eigenvektoren v 1 , . . . , v m zu
m verschiedenen Eigenwerten λ 1 , . . . , λ n . Es sei nun λ m+1 ein weiterer
anderer Eigenwert und v m+1 (≠ o) ein zugehöriger Eigenvektor. Wäre
so würde folgen
also
v m+1 =
F v m+1 =
λ m+1 v m+1 =
Wegen (9.26) hätte man demnach
m∑
γ k v k , (9.26)
k=1
m∑
γ k F v k ,
k=1
m∑
γ k λ k v k .
k=1
m∑
γ k (λ m+1 − λ
} {{ k )v
} k = o .
≠ 0
k=1
Da v 1 , . . . , v m linear unabhängig sind, folgt γ 1 = · · · = γ n = 0, im
Widerspruch zu (9.26) und v m+1 ≠ o.
Korollar 9.12 Sind die n Eigenwerte von F : V → V (wo n =
dim V ) verschieden, so gibt es eine Basis von Eigenvektoren und
die entsprechende Abbildungsmatrix ist diagonal.
Das folgende Beispiel zeigt, dass die Umkehrung dieses Korollars
nicht gilt: es gibt auch Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten, die
diagonalierbar sind. Das wissen wir allerdings auch schon von der
Einheitsmatrix I.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-13