Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 8 — Determinanten Lineare Algebra (2007)
Satz 8.2 Für n > 1 kann jede Permutation p als Produkt von
Transpositionen t k benachbarter Elemente dargestellt werden:
p = t ν ◦ t ν−1 ◦ · · · ◦ t 2 ◦ t 1 . (8.1)
Die Darstellung ist im allgemeinen nicht eindeutig, aber die Anzahl
der Transpositionen ist entweder immer gerade oder immer
ungerade.
Die Permutation p : (1, 2, 3, 4) ↦→ (4, 2, 1, 3) ist darstell-
Beispiel 8.1:
bar als
(1, 2, 3, 4) ↦→ (1, 2, 4, 3) ↦→ (1, 4, 2, 3) ↦→ (4, 1, 2, 3) ↦→ (4, 2, 1, 3) .
Das sind vier Transpositionen benachbarter Elemente, d.h. es ist p =
t 4 ◦ t 3 ◦ t 2 ◦ t 1 . Die inverse Permutation p −1 ist gegeben durch p −1 =
t 1 ◦ t 2 ◦ t 3 ◦ t 4 , denn es ist ja t −1
k
= t k .
Beweis von Satz 8.2: Die Aussagen sind trivial im Falle n = 2:
es gibt nur zwei Permutationen, die Identität e und die Vertauschung
t : {1, 2} ↦→ {2, 1}, die eine Transposition benachbarter Elemente ist. Jede
Zusammensetzung einer geraden Anzahl von Exemplaren der Transposition
t ergibt e, jedes Produkt einer ungeraden Anzahl wieder t.
Für den Induktionsbeweis nehmen wir an, die Aussagen seien richtig
für Permutationen von 1, . . . , n − 1. Wir argumentieren ähnlich wie im
Beweis von Satz 8.1: ausgehend von ihrer ursprünglichen Position am
Ende lässt sich die Position der Zahl n im Bild einer Permutation
p : {1, . . . , n} ↦→ {p(1), . . . , p(n)} (8.2)
offensichtlich durch ein Produkt von Transpositionen benachbarter Elemente
erreichen, sagen wir durch t µ ◦ t µ−1 ◦ · · · ◦ t 1 . Die Permutation
der übrigen n − 1 Zahlen ist nach Induktionsvoraussetzung auch als ein
solches Produkt darstellbar, sagen wir als t ν ◦t ν−1 ◦· · ·◦t µ+1 . Damit hat
p die Darstellung (8.1). Natürlich ist diese Darstellung nicht eindeutig
wenn n > 1, denn für jede Vertauschung t gilt t ◦ t = e.
Es seien nun
p = t ν ◦ t ν−1 ◦ · · · ◦ t 2 ◦ t 1 = t ′ ν ′ ◦ t′ ν ′ −1 ◦ · · · ◦ t′ 2 ◦ t ′ 1 (8.3)
zwei verschiedene Darstellungen von p durch Transpositionen benachbarter
Elemente. Sie brauchen nicht auf obige Art konstruiert zu sein.
Wir betrachten für beliebiges x = ( x 1 . . . x n
) T ∈ R n das Produkt
Ψ p = ∏ (x p(i) − x p(j) ) = ± ∏ i − x j ) = ±Ψ e (8.4)
i>j
i>j(x
Das Vorzeichen hängt nur ab von der Anzahl Transpositionen in der
Darstellung (8.1), denn für eine beliebige Transposition t gilt Ψ t = −Ψ e .
Aus (8.3) folgt damit, dass
Ψ p = (−1) ν Ψ e = (−1) ν′ Ψ e ,
was impliziert, dass die Differenz ν − ν ′ gerade ist.
LA-Skript 8-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht