Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
Beweis: Wir dürfen annehmen, die α k seien der Grösse nach geordnet:
α 1 < α 2 < · · · < α n . Wären die Funktionen linear abhängig, so gäbe es
einen grössten Index k mit der Eigenschaft, dass e αkt eine Linearkombination
der übrigen Funktionen ist:
Es folgt, dass
f(t) :≡
∑k−1
e αkt = γ j e αjt .
j=1
∑k−1
γ j e (α j−α k )t ≡ 1 .
j=1
Wegen α j − α k < 0 (j = 1, . . . , k − 1) ist aber lim t→∞ f(t) = 0 im
Widerspruch zu f(t) ≡ 1.
Die Verallgemeinerung der linearen Unabhängigkeit auf unendliche
Mengen von Vektoren ist heikel. In der linearen Algebra geht man
üblicherweise zunächst anders vor als in späteren Anwendungen.
Wir kommen in Abschnitt 6.3 auf diesen Punkt zurück.
Definition: Eine unendliche Menge von Vektoren heisst linear
unabhängig [linearly independent], wenn jede endliche Teilmenge
linear unabhängig ist. Andernfalls ist die Menge linear abhängig
[linearly dependent].
Beispiel 4.18: Ist {α k } ∞ k=0
eine Folge verschiedener reller Zahlen, so
sind die unendlich vielen Funktionen
t ↦−→ e α kt
(k = 1, 2, . . . )
gemäss Beispiel 4.17 linear unabhängig.
Wir könnten hier sogar von einer beliebigen Menge verschiedener reeller
Zahlen ausgehen, zum Beispiel sogar von ganz R. Wir könnten
auch beliebige komplexe Exponenten zulassen, müssten dann aber den
Beweis anpassen. Es gibt hier offenbar eine enorm grosse Zahl linear unabhängiger
Funktionen.
Es ist nun naheliegend, unter den Erzeugendensystemen für einen
Vektorraum solche auszuwählen, die möglichst klein sind. Umgekehrt
möchte man Mengen von linear unabhängigen Vektoren so
gross wählen oder so ergänzen, dass sie den ganzen Raum erzeugen.
Beides führt auf den folgenden Begriff.
Definition: Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines
Vektorraums V heisst Basis [basis] von V .
Beispiel 4.19: Die n Einheitsvektoren im E n ,
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
0
0
1
e 1 :≡ 0
⎟ , e 2 :≡ ⎜ 0
⎟
⎜
⎝
.
0
⎟
⎠
⎜
⎝
.
0
, . . . , e
⎟
n :≡
⎠
⎛
⎜
⎝
0
0
.
0
1
⎞
⎟
⎠
(4.21)
LA-Skript 4-10 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht