Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Damit wird aus (10.10) zunächst
y(t) = Vz(t) = Ve tΛ c = Ve tΛ V −1 Vc
und dann nach (10.38) und (10.11)
y(t) = e tA y 0 . (10.40)
Leitet man dies formal ab (d.h. wie wenn A, y 0 und y bloss reelle
Zahlen bzw. eine reelle Funktion wären), so ergibt sich gerade
ẏ(t) = Ae tA y 0 = A y(t) ,
also das System (10.4), von dem wir ausgegangen sind.
Analog zu (10.38) kann man auch andere Funktionen von Matrizen
definieren: sofern die Matrix A = VΛV −1 diagonalisierbar ist und
die Funktion f in den Eigenwerten λ k der Matrix definiert ist, setzt
man
f(Λ) :≡ diag (f(λ 1 ), . . . , f(λ n )) . (10.41)
und
f(A) :≡ Vf(Λ)V −1 . . (10.42)
10.3 Reelle lineare Differentialgleichungen
mit komplexen Eigenwerten
Im Prinzip funktioniert unser Vorgehen für Systeme von linearen
Differentialgleichungen erster Ordnung auch, wenn die Matrix A
komplexe Eigenwerte hat.
Aber es ist natürlich unschön, wenn A reell ist und man die Lösung
einer rellen Differentialgleichungen mit Hilfe nicht-reeller komplexer
Zahlen darstellt. Das ist auch nicht nötig. Wir skizzieren hier das
Vorgehen nur, und zwar auf eine neue Art. Detaillierte Beispiele
zum “klassischen” Lösungsweg gibt es in Nipp/Stoffer, S. 181ff.
Wir fangen an mit einem allgemeinen Resultat über relle Matrizen.
Die reelle Matrix A habe den nicht-reellen Eigenwert λ und den zugehörigen
(ebenfalls nicht-rellen) Eigenvektor v. Durch Konjugieren
von Av = vλ folgt dann Av = vλ, also gilt zusammengefasst
A ( v v ) = ( v v ) ( λ 0
0 λ
)
(10.43)
Nun kann man Real- und Imaginärteil von v ausdrücken durch
(
Re v Im v
)
=
(
v v
)
K2 , wo K 2 :≡ 1 2
( 1 −i
1 i
)
.
(10.44)
LA-Skript 10-8 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht