Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung
Matrix die Form (10.69) mit I ± = I hat, folgt aus dem Trägheitssatz
10.4 sofort die folgende Aussage:
Satz 10.5 Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit,
wenn alle ihre Eigenwerte positiv sind.
10.5 Quadratische Funktionen
Ist ein Kegelschnitt in allgemeiner Lage, so enthält seine Gleichung
in der Regel auch lineare Terme, wie im Beispiel
4x 2 − 24xy + 11y 2 + 8x + 26y = 5 . (10.72)
Auch hier möchte man die Gleichung auf Normalform bringen, um
Lage, Typ und Parameter des Kegelschnittes zu bestimmen. Dazu
muss man jetzt das Koordinatensystem nicht nur drehen, sondern
auch verschieben.
Wir wollen auch dieses Problem allgemein angehen und quadratische
Funktionen in n (statt zwei) Variablen betrachten.
Wir schreiben jetzt eine gegebene, im R n definierte, quadratische
Funktion [quadratic function] F als
F (x) = Q(x) − 2 b T x − γ , (10.73)
wobei Q eine quadratische Form und γ eine reelle Zahl ist. Wir
wissen bereits, dass man Q(x) mittels Hauptachsentransformation
auf die Normalform ˜Q(˜x) transformieren kann. Man hat dann wegen
x = U˜x
F (x) = ˜F (˜x) :≡ ˜Q(˜x)−2 ˜b T˜x−γ mit ˜bT :≡ b T U . (10.74)
Ist zum Beispiel λ k ≠ 0, so kann man den Term 2˜b k˜x k in 2 ˜b T˜x
durch eine Verschiebung in der Koordinatenrichtung ˜x k wegtransformieren:
(
λ k ˜x 2 k − 2˜b k ˜x k = λ k ˜x k − ˜b
) 2
k
− ˜b 2 k
.
λ k λ k
Definieren wir noch
⎛ ⎞
d 1
⎜ ⎟
d :≡ ⎝ . ⎠ mit d k :≡
d n
⎛ ⎞
p 1
⎜ ⎟
p :≡ ⎝ . ⎠ mit p k :≡
p n
{ ˜bk /λ k falls λ k ≠ 0 ,
0 falls λ k = 0 ,
{ 0 falls λk ≠ 0 ,
˜bk falls λ k = 0 ,
(10.75)
(10.76)
˜γ :≡ γ + ∑ λ k ≠0
˜b2 k
λ k
, (10.77)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 10-15