Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
γ 1 + γ 2 + γ 3 = a
γ 1 − γ 2 + γ 3 = b (4.23)
γ 3 = c
liefert. Da das homogene System (4.18) nur die triviale Lösung hat, wissen
wir aus Korollar 1.6, dass obiges System für beliebige rechte Seiten
(
a b c
) T lösbar ist. Also ist {p1 , p 2 , p 3 } ein Erzeugendensystem für
G 4 , d.h. (4.22) ist richtig.
Wir können dies hier dank Korollar 1.6 schliessen, ohne die Koeffizienten
γ k explizit als Funktion von a, b, c zu bestimmen. Allerdings wäre auch
das einfach, denn mittels der LR–Zerlegung (4.19) kann man das System
(4.23) mit a, b, c als Parameter lösen.
Beispiel 4.22:
Die abzählbar unendlich vielen Monome
t ↦−→ 1, t, t 2 , . . .
bilden eine Basis (die Standardbasis) des Raumes P aller Polynome, vgl.
(4.4). Wir sahen ja bereits, dass endlich viele Monome linear unabhängig
sind. Nach unserer Definition ist also auch die unendliche Menge aller
Monome linear unabhängig. Zudem ist jedes Polynom eine endliche Linearkombination
von Monomen.
Beispiel 4.23:
Die unendlich vielen Zahlfolgen
e 1 :≡ ( 1 0 0 . . . ) ,
e 2 :≡ ( 0 1 0 . . . ) ,
· · ·
bilden die Standardbasis des Vektorraumes l 0 der abbrechenden (rellen
oder komplexen) Zahlfolgen. Denn offensichtlich kann man jedes Element
von l 0 als Linearkombination endlich vieler dieser Vektoren darstellen,
und anderseits sind endlich viele dieser Vektoren auch immer
linear unabhängig.
Voraussetzung: Im folgenden beschränken wir uns auf Vektorräume,
die ein endliches Erzeugendensystem besitzen.
Für diese Räume sind einige grundlegende Fakten leicht herzuleiten:
Lemma 4.6 Gibt es zu einem (vom Nullraum verschiedenen)
Vektorraum ein endliches Erzeugendensystem, so besitzt er eine
Basis, die eine Teilmenge des Erzeugendensystems ist.
Beweis: Ist das Erzeugendensystem nicht ohnehin linear unabhängig
und enthält es mehr als einen Vektor, so lässt sich gemäss Lemma 4.5
einer der Vektoren durch die anderen ausdrücken. Man kann also diesen
streichen; die restlichen bilden immer noch ein Erzeugendensystem.
Durch Wiederholung dieses Vorgehens kann man das Erzeugendensystem
schrittweise auf eines reduzieren, das nur noch aus n ≥ 1 linear
unabhängigen Vektoren besteht. Dieses ist per Definition eine Basis.
LA-Skript 4-12 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht