Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
Aus (S1) und (S3) folgt, dass
〈x, αy + βz〉 = α 〈x, y〉 + β 〈x, z〉 ,
〈αw + βx, y〉 = α 〈w, y〉 + β 〈x, y〉 ,
(6.6)
wobei im Falle E = R natürlich α = α und β = β ist, das Skalarprodukt
also auch im ersten Argument linear ist.
Bemerkung: Gemäss (S1) ist das Skalarprodukt linear im zweiten
Argument. Stattdessen wird auch im Falle E = C oft Linearität
im ersten Argument verlangt. In der komplexen Matrizenrechnung
ist aber unsere Version von Vorteil, denn im Falle von n-Vektoren
gilt so direkt 〈y, x〉 = y H x.
In diesem Kapitel sind V , X, Y, . . . stets Vektorräume mit Skalarprodukt,
und zwar ist 〈. , .〉 oder 〈. , .〉 V
das Skalarprodukt in V ,
〈. , .〉 X
jenes in X, usw.
Definition: Die Norm [norm] oder Länge [length] eines Vektors
x in einem Vektorraum V mit Skalarprodukt ist
‖x‖ :≡ √ 〈x, x〉 . (6.7)
Man zeigt wie im Beweis von Satz 2.12, dass die in Abschnitt 6.1
angegebenen Axiome (N1)–(N3) für die Norm (6.7) stets erfüllt
sind.
Beispiel 6.2: R n mit dem Skalarprodukt 〈x, y〉 :≡ x T y ist ein Euklidischer
Vektorraum. C n mit dem Skalarprodukt 〈x, y〉 :≡ x H y ist ein
unitärer Vektorraum.
Beispiel 6.3: Auf dem Raum C[a, b] der auf dem Intervall [a, b] definierten
und dort stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen wird
durch
〈f, g〉 :≡
∫ b
ein Skalarprodukt definiert. Die zugehörige Norm ist
√ ∫ b
a
f(t) g(t) dt (6.8)
‖f‖ 2 :≡
a
|f(t)| 2 dt . (6.9)
Ist w ∈ C[a, b] irgend eine positive reelle Gewichtsfunktion [weight
function], so ist auch durch
〈f, g〉 w
:≡
∫ b
a
f(t) g(t) w(t) dt (6.10)
ein Skalarprodukt erklärt. Weiter wird auf C[−1, 1] zum Beispiel durch
〈f, g〉 :≡
∫ 1
−1
f(t) g(t)
dt
√
1 − t 2
ein Skalarprodukt definiert, denn diese Integrale existieren alle.
(6.11)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-3