Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung
Die für (10.35) relevante Matrix A ist also wieder (10.14) mit der Eigenwertzerlegung
(10.15). Aus den Eigenwerten λ 1 = −2, λ 2 = −3,
λ 3 = −3, bekommen wir
Wie in (10.16) gilt
Ω :≡ diag (ω 1 , ω 2 , ω n ) = diag ( √ 2, √ 3, √ 3) .
a = V −1 y 0 = V −1 e 3 = ( 2 1 −4 ) T
und zudem wegen y 1 = e 1 + 3e 2
˜b = V −1 y 1 = V −1 (e 1 + 3e 2 ) = ( 1 0 −5 ) T ,
also
b = Ω −1˜b =
(
1√2
0
−5 √
3
) T
.
In der Darstellung (10.29) lautet die gesuchte Lösung damit
⎛
y(t) = ⎝
1 −2 0
−2 0 −1
0 1 0
} {{ }
V
⎞ ⎛
2 cos( √ 2t) + 1 √
2
sin( √ 2t)
⎞
⎠ ⎜
⎝ cos( √ 3t)
⎟
−4 cos( √ 3t) − √ 5 3
sin( √ ⎠
3t)
} {{ }
cos(Ω t) a + sin(Ω t) b
Das Matrix-Vektor-Produkt in dieser Formel könnte man noch ausmultiplizieren,
um explizite Ausdrücke für y 1 , y 2 , y 3 zu bekommen.
.
10.2 Funktionen von Matrizen
Wir gehen nochmals zurück zu (10.7)–(10.10), wo wir bereits in
(10.8) für die Diagonalmatrix tΛ die Exponentialfunktion definiert
haben durch
e tΛ :≡ diag (e tλ 1
, . . . , e tλ n
) ,
womit sich (10.7) schreiben liess als
z(t) = e tΛ c . (10.37)
Weil tΛ diagonal ist und weil die Potenzreihe von e x
konvergiert, ist klar, dass
für alle x
e tΛ = I + tΛ + 1 2! t2 Λ 2 + 1 3! t3 Λ 3 + · · · .
Da V (tΛ) k V −1 = t k (VΛV −1 ) k = t k A k (für alle k ∈ N), macht es
Sinn, für eine diagonalisierbare Matrix A zu definieren
weil man dann zeigen kann, dass
e tA :≡ V e tΛ V −1 , (10.38)
e tA = I + tA + 1 2! t2 A 2 + 1 3! t3 A 3 + · · · . (10.39)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 10-7