Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
Beweis: Wäre eine solche Menge keine Basis, so liesse sie sich nach
Satz 4.9 zu einer ergänzen. Diese würde aber mehr als dim V Vektoren
enthalten, was Satz 4.7 widersprechen würde.
Beispiel 4.26: Dass die Polynome p 1 , p 2 , p 3 aus den Beispielen 4.16
und 4.21 eine Basis des Raumes G 4 der geraden Polynome vom Grade
≤ 4 bilden, können wir nun einfacher einsehen als in Beispiel 4.21. Da
die drei Monome 1, t 2 , t 4 eine Basis von G 4 bilden, ist dim G 4 = 3. In
Beispiel 4.16 haben wir bewiesen, dass p 1 , p 2 , p 3 linear unabhängig sind;
also bilden sie auch eine Basis.
Man kann nun sowohl 1, t 2 , t 4 als auch p 1 , p 2 , p 3 zu einer Basis von P 4
ergänzen. Beispielsweise sind die zwei Polynome t und t 3 eine geeignete
Ergänzung der beiden Basen, aber wir könnten auch etwa das Paar
t + p 1 (t) und t + t 3 + p 3 (t) verwenden. Die Wahl der Monome scheint
attraktiver, weil diese den Unterraum U 3 der ungeraden Polynome vom
Höchstgrade 3 aufspannen, aber als Basen von P 4 sind 1, t, t 2 , t 3 , t 4 und
p 1 (t), p 2 (t), p 3 (t), t + p 1 (t), t + t 3 + p 3 (t) theoretisch gleichwertig. (Beim
numerischen Rechnen wird man aber gewisse Basen bevorzugen. Man
muss vor allem vermeiden, dass nahezu linear abhängige Basen gewählt
werden.)
Man kann zeigen (mit Hilfe des Zornschen Lemmas, einer tiefschürfenden
mathematischen Aussage), dass jeder Vektorraum eine Basis
hat, also auch jene, die kein endliches Erzeugendensystem haben.
Es gilt sogar die folgende Verallgemeinerung von Satz 4.9:
Satz 4.11 Jede Menge linear unabhängiger Vektoren aus einem
Vektorraum V lässt sich ergänzen zu einer Basis von V .
Für die Räume l 0 und P aus den Beispielen 4.23 und 4.22 ist das
kaum überraschend. Gemäss unseren Definitionen bilden die Vektoren
e 1 , e 2 , . . . aber nicht eine Basis des Vektorraumes l aller Zahlfolgen.
Das würde erfordern, dass man unendliche Linearkombinationen
zulassen würde. Der Raum l hat keine “einfache” Basis im
Sinne unserer Definition. Eine Vektorraumbasis von l ist notwendigerweise
“sehr gross”. Wir können keine solche Basis angeben,
obwohl wir nach obigem Satz wissen, dass welche existieren. Das
Gleiche gilt zum Beispiel für C[0, 1]. Wir werden in Kapitel 6 auf
diese Problematik zurück kommen und einen Ausblick auf die Antworten
geben, die die Mathematik bereit hält.
Die Nützlichkeit der Basen beruht auf der nächsten Aussage:
Satz 4.12 {b 1 , . . . , b n } ⊂ V ist genau dann eine Basis von V ,
wenn sich jeder Vektor x ∈ V in eindeutiger Weise als Linearkombination
von b 1 , . . . , b n darstellen lässt:
x =
n∑
ξ k b k . (4.29)
k=1
Definition: Die Koeffizienten ξ k in (4.29) heissen Koordinaten
[coordinates] von x bezüglich der Basis {b 1 , . . . , b n }. Der Vektor
ξ = ( ) T
ξ 1 . . . ξ n ∈ E n ist der Koordinatenvektor [coordinac○M.H.
Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-15