Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung
Offensichtlich gilt gerade, wenn in (10.51) und (10.52) die gleiche
Matrix verwendet wird, dass
Q(x) = B(x, x) . (10.54)
Die Voraussetztung einer symmetrischen Matrix A erfolgt in Q ohne
Beschränkung der Allgemeinheit: Definiert man Q(x) :≡ x T Bx
mit einer unsymmetrischen Matrix B, so kann man diese durch
die symmetrische Matrix A :≡ 1 2 (B + BT ) ersetzen, ohne dass die
Werte von Q ändern.
Wenn man Q(x) ausschreibt, so erkennt man, dass (10.50) verallgemeinert
wird:
n∑ n∑
Q(x) :≡ x T Ax = a kj x k x j . (10.55)
k=1 j=1
Wir wollen diese Formel für Q durch Basistransformation so umformen,
dass keine gemischten Terme mehr auftreten. Das gelingt uns
sofort mit Hilfe der Spektralzerlegung für symmetrische Matrizen
(Korollar 9.16). Setzt man
A = UΛU T , ˜x :≡ U T x (10.56)
in (10.55) ein, resultiert wegen x T U = ˜x T
Q(x) = ˜Q(˜x) :≡ ˜x T Λ˜x =
n∑
k=1
λ k ˜x 2 k . (10.57)
Ellipsen und Hyperbeln (n = 2) und Flächen zweiter Ordnung (n =
3) werden, wie erwähnt, durch Gleichungen der Form Q(x) = const
dargestellt. Nach der Koordinatentransformation x ↦→ ˜x liegen die
Hauptachsen dieser Kurven und Flächen auf den Koordinatenachsen,
weshalb man von Hauptachsen-Transformation spricht.
Satz 10.2 [Hauptachsen-Transformation]
Jede quadratische Form Q(x) = x T Ax lässt sich mittels einer auf
der Spektralzerlegung von A beruhenden orthogonalen Basistransformation
auf die Hauptachsen-Darstellung (10.57) bringen.
Ist man bereit, zusätzlich die Länge der neuen Basisvektoren anzupassen,
so kann man in (10.57) die λ k durch ±1 und 0 ersetzen:
Korollar 10.3 Jede quadratische Form Q(x) = x T Ax lässt sich
durch Übergang auf eine neue orthogonale (aber im allgemeinen
nicht orthonormierte) Basis mit Koordinaten y auf die folgende
Form bringen:
Q(x) = y T I ± y =
p∑
y 2 k
−
r∑
y 2 l . (10.58)
k=1
l=p+1
Die Zahl p ist dabei gleich der Anzahl positiver Eigenwerte von
A, und r ist der Rang von A, d.h. r − p ist die Anzahl negativer
Eigenwerte.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 10-11