Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Beispiel 9.10: Die dem Vektor w = ( 1 2 2 ) T /3 zugeordnete
Householder–Matrix
⎛
⎞
Q w :≡ I − 2ww T = 1 7 −4 −4
⎝ −4 1 −8 ⎠ (9.32)
9
−4 −8 1
ist symmetrisch und orthogonal. Da die Matrix einer Spiegelung an einer
2–dimensionalen Ebene entspricht, ist auf Grund von Satz 9.13 klar, dass
die Eigenwerte 1, 1, -1 sind; der Eigenraum E 1 ist die Spiegelebene, der
Eigenraum E −1 eine Gerade senkrecht dazu, erzeugt durch den Vektor
u 3 :≡ w.
Um eine orthonormale Basis der Spiegelebene E 1 zu finden, könnten wir
hier einfach w zu einer orthonormalen Basis von R 3 ergänzen.
Oder wir können eine orthonormale Basis von E 1 konstruiren, ohne dass
wir vom schon bekannten Eigenvektor u 3 Gebrauch machen. Die Matrix
⎛
⎞
Q w − I = 1 −2 −4 −4
⎝ −4 −8 −8 ⎠
9
−4 −8 −8
hat offensichtlich Rang 1, ihre Zeilenstufenform liefert als einzige aus
(Q w − 1 I)x = o resultierende nichttriviale Gleichung
〈3w, x〉 = x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 ,
was gerade die Bedingung ist, dass x orthogonal auf w steht.
Die Wahl x 2 = 1, x 3 = 0 ergibt x 1 = −2, also den normierten Eigenvektor
u 1 = ( −2 1 0 ) T /
√
5. Die Wahl x2 = 0, x 3 = 1 ergäbe x 1 = −2 ;
dieser Vektor wäre zwar ein Eigenvektor, aber nicht senkrecht zu u 1 .
Um eine orthogonale Eigenbasis zu erhalten müssen wir die Bedingung
〈u 1 , u 2 〉 = 0 als weitere Gleichung beifügen:
x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 , −2x 1 + x 2 = 0 .
Hier sieht man, dass die Wahl x 1 = 2 auf x 2 = 4 und x 3 = −5 führt,
also auf u 2 = ( 2 4 −5 ) T /
√
45.
Man verifiziert leicht, dass in der Tat mit U :≡ ( u 1 u 2 u 3
)
die
Formel (9.30) bzw. die Spektralzerlegung Q w = UΛU T gilt (auf vier
Stellen nach dem Komma gerundet):
⎛
1
⎝
9
7 −4 −4
−4 1 −8
−4 −8 1
⎛
⎝
⎞
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
⎛
⎠ = ⎝
⎞ ⎛
⎠ ⎝
−0.8944 0.2981 0.3333
0.4472 0.5963 0.6667
0.0000 −0.7454 0.6667
−0.8944 0.4472 0.0000
0.2981 0.5963 −0.7454
0.3333 0.6667 0.6667
⎞
⎠ ×
⎞
⎠ .
LA-Skript 9-18 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht