Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Beweis: Man permutiert die Komponenten von x so, dass jene mit
positivem λ k zuerst, jene mit λ k = 0 zuletzt stehen. Zudem setzt man
y k :≡ √ |λ k | ˜x k
(k = 1, . . . , n).
Definition: Das Tripel (p, r−p, n−r) aus Satz 10.3 mit der Zahl
der positiven, negativen und null Eigenwerte von A heisst Trägheit
[inertia] von A. Die Differenz p − (r − p) der Zahl positiver und
negativer Eigenwerte heisst Signatur [signature] von A.
Beispiel 10.4:
Matrix
mit der Spektralzerlegung
(
A = UΛU T 0.6 0.8
=
−0.8 0.6
Der quadratischen Form Q von (10.43) entspricht die
(
)
4 −12
A =
−12 11
) ( 20 0
0 −5
) ( 0.6 −0.8
0.8 0.6
)
.
U ist eine Rotation, A hat die Trägheit (1, 1, 0) und die Signatur 0. Wir
erhalten
Q(x 1 , x 2 ) = ˜Q(˜x 1 , ˜x 2 ) = 20˜x 2 1 − 5˜x 2 2 , (10.59)
wobei
( ) ( ˜x1 0.6 −0.8
=
˜x 2 0.8 0.6
) ( ) ( 1 x1
5
=
(3x 1 − 4x 2 )
x 1
2
5 (4x 1 + 3x 2 )
Die Gleichung Q(x 1 , x 2 ) = 20 hat damit die Normalform
1
20 ˜Q(˜x 1 , ˜x 2 ) = 1 , d.h. ˜x 2 1 − 1 4 ˜x2 2 = 1 .
)
. (10.60)
Dies ist eine nach links und rechts geöffnete Hyperbel mit Scheitelpunkten
(±1, 0) und Öffnungswinkel 2 arctan(b/a) = 2 arctan(2). Im
ursprünglichen Koordinatensystem haben die Scheitel die Koordinaten
(
x1 x 2
) T = U
(
±1 0
) T = ±
(
0.6 −0.8
) T.
Beispiel 10.5:
Zur quadratischen Form
Q(x) = Q(x 1 , x 2 , x 3 )
gehört die Matrix
= 221x 2 1 + 144x 1 x 2 + 480x 1 x 3 + 179x 2 2 + 360x 2 x 3 + 100x 2 3 .
(10.61)
⎛
A = ⎝
221 72 240
72 179 180
240 180 100
⎞
⎠ (10.62)
mit der Spektralzerlegung
⎛
0.60 0.48
⎞ ⎛
0.64 125 0
⎞
0
A = ⎝ −0.80 0.36 0.48 ⎠ ⎝ 0 −125 0 ⎠ ×
0.00 −0.80 0.60 0 0 500
⎛
⎞
0.60 −0.80 0.00
× ⎝ 0.48 0.36 −0.80 ⎠ .
0.64 0.48 0.60
LA-Skript 10-12 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht