Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Gibt es umgekehrt eine Eigenbasis {b l } von A, so dass also Ab l =
b l λ l (l = 1, . . . , n) gilt, so folgt: Zu einem festen Eigenwert λ k und
Koeffizienten
α l :≡
{ beliebig falls λl = λ k ,
0 falls λ l ≠ λ k ,
(9.28)
gilt für x :≡ ∑ n
l=1 b lα l , dass
Ax = A
( n∑
l=1
b l α l
)
=
n∑
n∑
b l λ l α l = λ k b l α l = λ k x .
l=1
l=1
Also ist x ∈ E λk , und die Dimension dieses Eigenraums ist wegen (9.28)
gleich der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes.
Bevor wir den Fall analysieren, wo die geometrische Vielfachheit
kleiner als die arithmetische ist, betrachten wir eine wichtige Klasse
von diagonalisierbaren Matrizen.
9.3 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer
und Hermitescher Matrizen
Die Mehrzahl der Eigenwertprobleme, die in der Praxis auftreten
sind selbstadjungiert [self-adjoint], das heisst die Matrizen sind
reell symmetrisch oder Hermitesch. In diesem Falle ist die Eigenwertzerlegung
einfach: Die Eigenwerte sind reell, und es gibt stets
eine orthonormale Eigenbasis. Falls die Matrix selbst reell ist, ist
auch die Eigenbasis reell.
Satz 9.15 Ist A ∈ C n×n Hermitesch, so gilt:
i) Alle Eigenwerte λ 1 , . . . , λ n sind reell.
ii) Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind paarweise
orthogonal in C n .
iii) Es gibt eine orthonormale Basis des C n aus Eigenvektoren
u 1 , . . . , u n von A.
iv) Für die unitäre Matrix U :≡ ( u 1 . . . u n
)
gilt
U H AU = Λ :≡ diag (λ 1 , . . . , λ n ). (9.29)
LA-Skript 9-16 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht