Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
Konkret ergeben sich im Beispiel als erstes und zweites Restgleichungssstem
(mit eingekreisten Pivotelementen)
x 2 x 3 1
1 ❧ 3 8
5 −5 0
✗✔ x 3 1
−20 −40
✖✕
Ausgehend von den Daten im Endschema (1.8) müsste man jetzt
noch rückwärts einsetzen, um die Lösung zu berechnen. Dies macht
man genau gleich wie oben in Beispiel 1.1.
Im obigen Beispiel ist für k = 1, 2, 3 im k-ten Eliminationsschritt
das Element a (k−1)
kk
als Pivotelement gewählt worden, und entsprechend
ist die k-te Zeile Pivotzeile und die k-te Kolonne Pivotkolonne.
Wir werden aber gleich sehen, dass das nicht immer so geht,
ohne dass man Zeilen vertauscht, was problemlos ist, da Zeilen ja
Gleichungen sind.
Zunächst sei aber noch darauf hingewiesen, dass beim ersten Schritt
ja die erste Gleichung unverändert bleibt, beim zweiten Schritt sogar
die zwei ersten Gleichungen. Im ersten Schritt wird eben das
3×3-System auf ein 2 ×2-System reduziert oder allgemeiner, ein
m×n-System auf ein (m − 1)×(n − 1)-System.
Da nach dem k-ten Schritt die ersten k Gleichungen unverändert
bleiben und die ersten k Koeffizienten der restlichen Zeilen null sind,
kann man sich Schreibarbeit sparen, indem man jeweils nur das
neue Restgleichungssystem aufschreibt. Für die Programmierung
bedeutet dies, dass der Zugriff auf jenen Teil der Daten beschränkt
bleibt, die zum Restgleichungssystem gehören.
Wir illustrieren diese neue, kompaktere Darstellung, die besser zeigt,
was wirklich zu berechnen ist, an einem zweiten Beispiel.
Beispiel 1.2:
Die Reduktion des Systems
x 2 + 4x 3 = 1
2x 1 + 4x 2 − 4x 3 = 1
4x 1 + 8x 2 − 3x 3 = 7
(1.9)
auf obere Dreiecksgestalt wird nachfolgend links in der bisherigen Darstellung
gezeigt, rechts in der kompakteren.Dabei tritt noch die Schwierigkeit
auf, dass a 11 = 0 ist, dieses Element also nicht als Pivotelement
in Frage kommt.Wir wählen stattdessen a 21 als erstes Pivotelement. In
unserer linken Darstellung vertauschen wir in diesem Falle die erste und
die zweite Zeile. Auf der rechten Seite entfällt dieser triviale Zwischenschritt.
Es genügt, das Pivotelement zu markieren. Die Kellerzeile lassen
wir diesmal weg.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-5