Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
Wir wissen aus Abschnitt 4.4 wie Basiswechsel in X und Y durch
Koordinatentransformationen T und S ausgedrückt werden. Wir
wollen nun die Auswirkungen auf die Abbildungsmatrix A betrachten.
Dazu genügt es, das kommutative Diagramm (5.26) nach unten
zu erweitern:
x ∈ X
κ X
⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
κ −1
X
F
−−−−−−→
lin. Abb.
y ∈ Y
κ Y
⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
κ −1
Y
(Koordinatenabbildung
bzgl.
“alten” Basen)
ξ ∈ E n
A
−−−−−−→
Abb.matrix
η ∈ E m
(Koordinaten
bzgl. “alten”
Basen)
(5.48)
T −1 ⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
T
S −1 ⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
S
(Koordinatentransformation)
ξ ′ ∈ E n
B
−−−−−−→
Abb.matrix
η ′ ∈ E m
(Koordinaten
bzgl. “neuen”
Basen)
Es gilt also
y = F x , η = A ξ , ξ = T ξ ′ , η = S η ′ , η ′ = B ξ ′ .
(5.49)
Diesen Formeln oder dem Diagramm entnimmt man, dass für die
Abbildungsmatrix B, die die Abbildung F bezüglich den “neuen”
Basen in E m und E n beschreibt, gilt
B ξ ′ = η ′ = S −1 η = S −1 A ξ = S −1 A T ξ ′
Da ξ ′ beliebig ist, ergibt sich
B = S −1 AT, A = SBT −1 . (5.50)
Aus Satz 5.16 folgt im übrigen wegen Rang S −1 = Rang T = n, dass
Rang B = Rang A ist, und in ähnlicher Weise folgt aus Korollar
5.10, dass Rang F = Rang A ist:
Rang F = Rang A = Rang B . (5.51)
Im Falle einer linearen Abbildung von X in sich, ist natürlich Y =
X, κ Y = κ X , S = T. Aus (5.50) wird damit
B = T −1 AT, A = TBT −1 . (5.52)
Da B und A Matrixdarstellungen der selben linearen Selbstabbildung
sind, kann man erwarten, dass sie gewisse ähnliche Eigenschaften
haben. Das wird sich bestätigen. Es gilt folgende Terminologie:
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-19