Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
Für die alte und die neue Koordinatendarstellung gelten dann nach
(4.39)
B ξ = x = B ′ ξ ′ . (4.49)
Die Matrizen B und B ′ sind regulär, denn zum Nullvektor o gehört
in beiden Basen der eindeutige Koordinatenvektor ξ = ξ ′ = o.
Aus (4.49) folgt durch Einsetzen von (4.48) sofort
B ξ = B T ξ ′ ,
also, weil B regulär ist,
wie in (4.41).
ξ = Tξ ′
Beispiel 4.31: Wir wollen im R 3 neben der Standardbasis {e 1 , e 2 , e 3 }
noch die “schiefe” Basis {b ′ 1 , b′ 2 , b′ 3 } mit
b ′ 1 = e 1 , b ′ 2 = e 1 + e 2 , b ′ 3 = e 1 + e 2 + e 3 (4.50)
einführen. Es ist in diesem Falle wegen B = I 3
⎛
1 1
⎞
1
T = ⎝ 0 1 1 ⎠ = B ′ . (4.51)
0 0 1
Die Koordinaten transformieren sich also gemäss
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
ξ 1 1 1 1 ξ ′ ⎞
1
⎝ ξ 2
⎠ = ⎝ 0 1 1 ⎠ ⎝ ξ ′ ⎠
2 ,
ξ 3 0 0 1 ξ 3
′
und, wie man leicht verifiziert, ist
⎛
ξ ′ ⎞ ⎛
1 1 −1 0
⎝ ξ 2
′ ⎠ = ⎝ 0 1 −1
ξ 3
′ 0 0 1
⎞ ⎛
⎠ ⎝
⎞
ξ 1
ξ 2
⎠ .
ξ 3
LA-Skript 4-20 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht