Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 8 — Determinanten Lineare Algebra (2007)
Beispiel 8.9:
Für
A =
⎛
⎜
⎝
1 3 5 1
2 4 6 3
3 6 4 2
1 5 3 1
⎞
⎟
⎠
ist
⎛
A [2,3] = ⎝
1 3 1
3 6 2
1 5 1
⎞
⎠ , κ 23 = (−1) 5 ∣ ∣∣∣∣∣ 1 3 1
3 6 2
1 5 1
∣ = −2 .
Lemma 8.11 Es sei A eine Matrix, in deren l–ter Kolonne nur
das Element a kl ≠ 0 ist. Dann gilt
det A = a kl κ kl .
Beweis: Wir bringen zunächst die l–te Kolonne von A durch l − 1
Kolonnenvertauschungen so ganz nach links, dass die Reihenfolge der
anderen Kolonnen erhalten bleibt. Dann bringen wir analog die k–te
Zeile durch k − 1 Zeilenvertauschungen ganz nach oben. Die Determinante
ändert sich dabei um einen Faktor (−1) k+l−2 = (−1) k+l , und es
resultiert die Matrix
⎛
⎞
a kl ⋆ · · · ⋆
⎜
⎟
⎝ o A [k,l]
⎠ .
Bei Anwendung des Gauss-Algorithmus auf diese Matrix gibt es im ersten
Schritt nichts zu tun: das erste Pivotelement ist a kl und die erste
Restgleichungsmatrix ist A [k,l] . Weiterverarbeitung der letzteren wird
det A [k,l] als Produkt der restlichen Pivotelemente ergeben. Das Produkt
aller Pivotelemente ist also a kl det A [k,l] . Mittels Definition (8.15)
ergibt sich damit gerade die Behauptung.
Satz 8.12 Ist A eine n × n–Matrix, so gelten für jedes feste k ∈
{1, . . . , n} und jedes feste l ∈ {1, . . . , n} die Formeln
und
det A =
det A =
n∑
a ki κ ki (8.16)
i=1
n∑
a il κ il . (8.17)
i=1
Die Formel (8.16) nennt man Entwicklung nach der k-ten Zeile
[expansion along row k], und die Formal (8.17) heisst Entwicklung
nach der l-ten Kolonne [expansion along column l].
Beweis von Satz 8.12: Wir können die l–te Kolonne von A als eine
Summe von n Kolonnenvektoren schreiben, von denen jeder nur eine
LA-Skript 8-10 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht