Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
2.8 Orthogonale und unitäre Matrizen
Orthogonale reelle und unitäre komplexe Matrizen sind spezielle
reguläre quadratische Matrizen, die in vielen Anwendungen und
Algorithmen vorkommen. Ihre Beliebtheit in der Numerik beruht
unter anderem auf sehr guten Eigenschaften betreffend Rundung.
Definition: Eine n × n–Matrix A heisst unitär [unitary], falls
A H A = I n . Eine relle unitäre Matrix heisst auch orthogonal [orthogonal];
für sie gilt A T A = I n .
Satz 2.20 Sind A und B unitäre (bzw. orthogonale) n × n–
Matrizen, so gilt:
i) A ist regulär und A −1 = A H (bzw. A −1 = A T ).
ii) AA H = I n (bzw. AA T = I n ).
iii) A −1 ist unitär (orthogonal).
iv) AB ist unitär (orthogonal).
Beweis: Zu i)–iii): Aus A H A = I n folgt gemäss Satz 2.17 (mit A :=
A H , X := A), dass A H invertierbar ist und (A H ) −1 = A gilt. Wegen
der Symmetrie in der Definition (2.69) der Inversen ist damit auch A
invertierbar und A −1 = A H . Daraus folgt erstens nach Satz 2.17, dass
A regulär ist. Zweitens ist AA H = AA −1 = I n . Drittens ergibt sich mit
Hilfe von (2.32), dass (A −1 ) H A −1 = (A H ) H A −1 = AA −1 = I n ; also ist
A −1 unitär.
Zu iv): Dies folgt aus (AB) H AB = B H (A H A)B = B H B = I n .
Die Aussagen über orthogonale Matrizen folgen als Spezialfall.
Beispiel 2.26: Givens–Rotationen 13 [Givens rotations, plane rotations]
sind einfache orthogonale Matrizen, welche eine Drehung um
einen Winkel −φ in einer durch zwei Koordinatenachsen aufgespannten
Ebene beschreiben; die anderen Koordinatenachsen bleiben fest. Im
R 3 bedeutet dies, dass genau eine Koordinatenachse fest bleibt. Das ist
dann die Drehachse.
Als Beispiel betrachten wir eine Drehung im R 5 in der durch die erste
und die dritte Achse aufgespannten Ebene:
U 13 (φ) :≡
⎛
⎜
⎝
cos φ 0 sin φ 0 0
0 1 0 0 0
− sin φ 0 cos φ 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ ,
Es ist U T 13 (φ) = U 13(−φ), und für U T 13 (φ)U 13(φ) ergibt sich
13 J. Wallace Givens (1910 – 1993), amerikanischer Numeriker, Direktor
der Applied Mathematics Division am Argonne National Laboratory.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-29