Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 7 — Kleinste Quadrate, QR Lineare Algebra (2007)
Beweis: Wegen (7.1) ist (I − P) 2 = I − 2P + P 2 = I − P, d.h. es gilt
(7.1) auch für I − P.
Ist Px = o, so ist x = x − Px = (I − P)x ∈ im (I − P). Ist umgekehrt
x = (I − P)y ∈ im (I − P), so folgt Px = (P − P 2 )y = o.
Die zweite Gleichung in (7.3) ergibt sich am einfachsten, wenn man in
der ersten den Projektor P durch den Projektor I − P ersetzt.
Die Definition (7.2) der Orthogonalität eines Projektors kann man
durch äquivalente Bedingungen ersetzen:
Satz 7.2 Für einen Projektor P : E m → E m sind folgende Aussagen
äquivalent:
(i) P ist orthogonaler Projektor;
(ii) I − P ist orthogonaler Projektor;
(iii) P H = P .
Beweis: Die Äquivalenz von (i) und (ii) folgt sofort aus Lemma 7.1.
Nehmen wir also an, P und I−P seien orthogonale Projektoren. Zudem
sei x ∈ ker P, so dass wegen (7.2) für alle y ∈ E m gilt
〈 〉
P H x, y = 〈x, Py〉 = 0 ,
also P H x = o, d.h. x ∈ ker P H . Somit ist ker P ⊆ ker P H , aber weil
Rang P = Rang P H (Korollar 5.14), muss sogar ker P = ker P H sein.
Analog ist ker (I − P) = ker (I − P H ), also wegen Lemma 7.1 auch
im P = im P H , denn P H ist wegen (P H ) 2 = (P 2 ) H = P H sicher auch
ein Projektor. Da ein Projektor durch seinen Kern (der auf o abgebildet
wird) und sein Bild (dessen Punkte fest bleiben), eindeutig bestimmt
ist (denn Kern und Bild sind bei einer Projektion komplementäre Unterräume:
ker P ⊕ im P = E m ), folgt, dass P = P H .
Es sei umgekehrt P ein Projektor mit P = P H , und es seien x ∈ ker P
und y ∈ im P, so dass gilt Px = o und y = Py. Dann folgt
〈 〉
〈x, y〉 = 〈x, Py〉 = P H x, y = 〈Px, y〉 = 0 ,
was gleichbedeutend ist mit (7.2), also ist P ein orthogonaler Projektor.
Um eine Formel für die Orthogonalprojektion auf einen vorgegebenen
Unterraum (“Projektionsebene”) anzugeben, wollen wir annehmen,
dieser Unterraum sei aufgespannt durch n linear unabhängige,
gegebene Vektoren a 1 , . . . , a n ∈ E m , und wir betrachten diese Vektoren
als Kolonnenvektoren einer m×n-Matrix A. Der vorgegebene
Unterraum ist dann gerade der Kolonnenraum R(A). Es gilt:
Lemma 7.3 Sind die Kolonnen einer m×n–Matrix A linear unabhängig,
das heisst ist Rang A = n (≤ m), so ist A H A regulär.
Beweis: Aus A H Ax = o folgt x H A H Ax = 0, d.h. 〈Ax, Ax〉 = 0, also
Ax = o. Weil Rang A = n ist, ist aber ker A = {o}, d.h. A H A ist
regulär.
LA-Skript 7-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht