Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
Hier ist zu erwähnen, dass die unitären bzw. orthogonalen Matrizen
der Ordnung n eine Gruppe bilden.
Beispiel 6.10:
Drehung des Koordinatensystems in R 2 . Hier gilt
b ′ 1 = cos φ b 1 + sin φ b 2 ,
b ′ 2 = − sin φ b 1 + cos φ b 2 ,
wobei beim gängigen Koordinatensystem b 1 = e 1 und b 2 = e 2 die
Standardbasisvektoren sind. Also hat man, mit der zweidimensionalen
Givens–Rotationsmatrix U(φ) aus Kapitel 2,
( )
cos φ − sin φ
T =
= U(−φ) , B = I , B ′ = U(−φ) .
sin φ cos φ
Führt man im R n eine neue Basis ein, in der alle Basisvektoren bis
auf zwei von der Standardbasis übernommen werden, die verbleibenden
zwei, sagen wir b ′ i und b′ j , aber in dem durch e i und e j aufgespannten
zweidimensionalen Raum durch eine Drehung um den Winkel −φ aus e i
und e j hervorgehen, ergibt sich als Transformationsmatrix T analog die
allgemeine Givens–Rotation oder Jacobi–Rotation [Givens / Jacobi
rotation] U ij (−φ):
⎛
⎞
1 ... 1
cos φ
− sin φ
← i
1 U ij (−φ) =
... 1
sin φ
cos φ
← j
⎜
1 ⎟
⎝
... ⎠
1
(6.53)
(alle übrigen Elemente sind 0). Eine solche 5×5–Matrix haben wir bereits
in Beispiel 2.26 betrachtet.
Bei einer orthogonalen oder unitären Basistransformation bleiben
die Längen und Winkel im Koordinatenraum erhalten, denn gemäss
der Parsevalschen Formel (Satz 6.5) sind sie ja gleich den entsprechenden
Längen und Winkel in V .
Korollar 6.12 Unter den Voraussetzungen von Satz 6.11 gilt,
wenn η und η ′ = T H η ein weiteres Paar von alten und neuen
Koordinaten bezeichnet, dass
Insbesondere gilt
〈ξ ′ , η ′ 〉 = 〈ξ, η〉 . (6.54)
‖ξ ′ ‖ = ‖ξ‖ , (6.55)
∢ (ξ ′ , η ′ ) = ∢ (ξ, η) , (6.56)
ξ ′ ⊥ η ′ ⇐⇒ ξ ⊥ η . (6.57)
LA-Skript 6-16 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht