Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
Korollar 5.10 Sind F : X → Y , G : Y → Z lineare Abbildungen
(wobei dim X, dim Y < ∞), so gilt:
i) Rang F G ≤ min{Rang F, Rang G} ,
ii) G injektiv =⇒ Rang GF = Rang F ,
iii) F surjektiv =⇒ Rang GF = Rang G .
Beweis: (i) Die Dimensionsformel (5.29) zeigt, dass Rang G = dim im G
≤ dim Y ist, und dass analog, bei Anwendung auf die Restriktion G| im F
von G auf im F , das heisst für
folgt:
G| im F : im } {{ F}
⊆ Y =⇒ im } {{ GF}
⊆ Z
≡: Ỹ
= G(Ỹ )
Rang GF = dim
} im{{ GF}
≤ dim im } {{ F}
= G(Ỹ ) = Ỹ
= Rang F . (5.30)
Ferner ist natürlich
Rang GF = dim im GF ≤ dim im G = Rang G . (5.31)
(ii) Ist G injektiv, so ist G| im F auch injektiv, und nach (5.28) gilt (5.30)
mit dem Gleichheitszeichen.
(iii) Ist F surjektiv, so ist im GF = im G; folglich gilt (5.31) mit dem
Gleichheitszeichen.
5.3 Matrizen als lineare Abbildungen
Es sei A = ( a kl
)
eine m × n–Matrix. Wir bezeichnen ihre n
Kolonnen wieder mit a 1 , . . . , a n , so dass
A = ( a 1 a 2 . . . a n
)
. (5.32)
Definition: Der von den Kolonnen von A aufgespannte Unterraum
R(A) :≡ span {a 1 , . . . , a n } heisst Kolonnenraum [column
space] oder Wertebereich [range] von A. Der Lösungsraum L 0 des
homogenen Systems Ax = o heisst Nullraum [null space] N (A).
Fasst man A als lineare Abbildung A : E n → E m , x ↦→ Ax auf, so
ist ker A = N (A), und es gilt mit x ≡: ( x 1 . . . x n
) T
{ n∑
}
im A = {Ax ; x ∈ E n } = a k x k ; x 1 , . . . , x n ∈ E
k=1
= span {a 1 , . . . , a n } = R(A) .
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-11