Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
te vector]; (4.29) heisst Koordinatendarstellung [representation
in cordinates] von x.
Beweis von Satz 4.12:
(i) Es sei {b 1 , . . . , b n } eine Basis von V , und es sei x ∈ V beliebig. Da
{b 1 , . . . , b n } ein Erzeugendensystem ist, lässt sich x in der Form (4.29)
darstellen. Gäbe es eine zweite Darstellung
x =
n∑
ξ k ′ b k
k=1
von x, so bekäme man durch Subtraktion
n∑
(ξ k − ξ k ′ ) b k = x − x = o ,
k=1
woraus wegen der linearen Unabhängigkeit von {b 1 , . . . , b n } folgen würde,
dass ξ k − ξ
k ′ = 0, d.h. ξ k = ξ
k ′ (1 ≤ k ≤ n).
(ii) Es sei jedes x ∈ V auf eindeutige Weise in der Form (4.29) darstellbar.
Dann ist {b 1 , . . . , b n } ein Erzeugendensystem und, weil o ∈ V die
eindeutige Darstellung
o = 0b 1 + . . . 0b n
hat, sind b 1 , . . . , b n linear unabhängig.
Beispiele 4.27: Offensichtlich gilt für einen beliebigen n-Vektor x =
(
x1 . . . x n
) T ∈ E
n
x =
n∑
x k e k . (4.30)
k=1
Ebenso lässt sich jedes Polynom p vom Grade m per Definition darstellen
in der Form
m∑
p(t) = a 0 + a 1 t + · · · a m t m = a k t k , (4.31)
k=0
das heisst als Linearkombination der Standardbasis 1, t, . . . , t m .
Um in den Räumen E n und P m zur Darstellung eines Vektors in einer
anderen Basis zu kommen, wird man in der Regel diesen Vektor und die
andere Basis in der Standardbasis darstellen und dann einen Koeffizientenvergleich
durchführen.
So gelang es uns etwa in Beispiel 4.21 das Polynom g, das allgemeine
gerade Polynom vom Grad 4, in der Basis p 1 , p 2 , p 3 darzustellen; in einem
konkreten Beispiel wäre noch das Gleichungssystem (4.23) zu lösen.
Im Raum E n kommen wir zu diesem Koeffizientenvergleich automatisch,
sobald wir die Komponenten der Vektoren betrachten.
Die Sätze 4.9 und 4.12 geben Anlass zu einer Aufsplittung eines
Vektorraumes in zwei sich ergänzende Unterräume. Es sei M =
{b 1 , . . . , b l } eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Raum
V nicht erzeugen. Sie bilden eine Basis des echten Unterraumes
U :≡ span M = span {b 1 , . . . , b l } . (4.32)
LA-Skript 4-16 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht