Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
Weitere Aussagen über die Verknüpfung unitärer Abbildungen, die
Koordinatenabbildung und die Abildungsmatrix folgen mühelos:
Lemma 6.14 Sind F : X → Y und G : Y → Z zwei unitäre
(oder orthogonale) Isomorphismen endlich-dimensionaler unitärer
(bzw. orthogonaler) Vektorräume, so auch G ◦ F : X → Z.
Beweis: Es ist klar, dass G ◦ F ein Isomorphismus ist. Zudem gilt
(6.61) für F und G, also
〈GF x, GF y〉 Z
= 〈F x, F y〉 Y
= 〈x, y〉 X
.
Lemma 6.15 Ist V ein n–dimensionaler unitärer (oder orthogonaler)
Vektorraum mit Orthonormalbasis, so ist die Koordinatenabbildung
κ V : V → C n (bzw. V → R n ) ein unitärer (bzw. orthogonaler)
Isomorphismus.
Beweis: Wir haben uns bereits bei der Definition (5.23) der Koordinatenabbildung
überlegt, dass sie ein Isomorphismus ist. Zudem ist für
sie (6.61) identisch mit der Parselvalschen Formel (6.24) aus Satz 6.5,
also ist sie ein unitärer (oder orthogonaler) Isomorphismus.
Lemma 6.16 Die Matrix A ∈ C n×n (bzw. R n×n ) ist genau dann
unitär (bzw. orthogonal), wenn die lineare Abbildung A : C n → C n
(bzw. R n → R n ) unitär (bzw. orthogonal) ist.
Beweis: Die durch A definierte Abbildung ist unitär, wenn gemäss
(6.61) gilt: 〈Ax, Ay〉 = 〈Ax, Ay〉 (∀x, y). Hieraus folgt mit x = e k und
y = e l , dass
(A H A) kl = e H k AH Ae l = (Ae k ) H (Ae l ) = 〈Ae k , Ae l 〉 = 〈e k , e l 〉 = δ kl ,
was heisst, dass die Matrix A unitär ist. Umgekehrt gilt diese Formel
genau dann, wenn 〈Ae k , Ae l 〉 = 〈e k , e l 〉 (∀k, l). Schreibt man x =
∑
ek ξ k , y = ∑ e l η l , so folgt aufgrund der Eigenschaften (6.6), dass
auch 〈Ax, Ay〉 = 〈Ax, Ay〉 (∀x, y) gilt, also die Abbildung unitär ist.
6.7 Normen von linearen Abbildungen
(Operatoren) und Matrizen
Definition: Es seien X und Y zwei normierte Vektorräume mit
den Normen ‖.‖ X und ‖.‖ Y . Eine lineare Abbildung (oder: ein linearer
Operator) F : X → Y heisst beschränkt [bounded], wenn
es ein γ F ≥ 0 gibt mit
‖F (x)‖ Y ≤ γ F ‖x‖ X (∀x ∈ X) .
Die Gesamtheit solcher linearer Abbildungen (Operatoren) F zwischen
X und Y heisst L(X, Y ).
Bemerkung: Die zwei Normen in X und Y können gemäss (6.7)
durch Skalarprodukte 〈., .〉 X
und 〈., .〉 Y
definiert sein, müssen es
aber nicht.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-19