Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung von Beispiel 4.9: Der Lösungsraum
von Ax = o ist eine “Ebene” (ein Unterraum) im R n durch
den Ursprung.
Als nächstes übertragen wir den Begriff der Linearkombination von
E n (siehe Kapitel 2, Seite 2-10) auf beliebige Vektorräume.
Definition: Es seien V ein Vektorraum über E, und a 1 , . . . , a l ∈
V ausgewählte Vektoren. Ein Vektor der Form
x :≡ γ 1 a 1 + · · · + γ l a l =
l∑
γ k a k (4.13)
k=1
mit γ 1 , . . . , γ l ∈ E heisst eine Linearkombination [linear combination]
von a 1 , . . . , a l .
Die Gesamtheit aller Linearkombinationen von a 1 , . . . , a l ist offensichtlich
ein Unterraum, denn (4.11) ist für die Vektoren der Form
(4.13) mit festen Vektoren a 1 , . . . , a l und freien Skalaren γ 1 , . . . , γ l
erfüllt.
Definition: Die Menge aller Linearkombinationen von a 1 , . . . , a l
heisst der von a 1 , . . . , a l aufgespannte (oder: erzeugte) Unterraum
[subspace spanned by a 1 , . . . , a l ; span] oder die lineare
Hülle von a 1 , . . . , a l [linear hull]. Er wird bezeichnet mit: 1
span {a 1 , . . . , a l } :≡
{ l∑
k=1
γ k a k ; γ 1 , . . . , γ l ∈ E
}
. (4.14)
Der von einer unendlichen Folge oder Menge S ⊂ V erzeugte Unterraum
ist gleich der Gesamtheit aller Linearkombinationen endlich 2
vieler Vektoren aus S:
{ m
}
∑
span S :≡ γ k a k ; m ∈ N; a 1 , . . . , a m ∈ S; γ 1 , . . . , γ m ∈ E .
k=1
(4.15)
Die Vektoren a 1 , . . . , a l in (4.14) bzw. die Menge S in (4.15) heissen
Erzeugendensystem [spanning set] von span {a 1 , . . . , a l } bzw.
span S.
Beispiel 4.10: Die vier Vektoren
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
0
⎛
a 1 = ⎝ 2 ⎠ , a 2 = ⎝ 1 ⎠ , a 3 = ⎝
0
0
2
0
0
⎞
⎛
⎠ , a 4 = ⎝
spannen offenbar im 3-dimensionalen Raum die Koordinatenebene E 12
auf, die alle Vektoren enthält, deren dritte Koordinate null ist. Sie sind
1 Oft schreibt man auch 〈a 1 , . . . , a l 〉 für diesen Unterraum, was wir aber
wegen des Konfliktes mit unserer Notation für das Skalarprodukt vermeiden.
2 Man betrachtet anderswo in der Mathematik allerdings auch Vektorräume
und Unterräume, die von Linearkombinationen unendlich vieler Vektoren erzeugt
werden; siehe den Ausblick am Schluss von Abschnitt 6.3.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-7
2
1
0
⎞
⎠