Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 8 — Determinanten Lineare Algebra (2007)
8.4 Determinanten von Blockdreiecksmatrizen
Man könnte hoffen, für eine 2 × 2 Blockmatrix gelte
∣ A B
C D ∣ = det A det D − det B det C ,
aber schon ein ganz simples Beispiel wie
2 0 1 0
0 2 0 1
1 0 2 0
= 71 ≠ 15 = 4 · 4 − 1 · 1
∣ 0 1 0 2 ∣
zeigt, dass dies im allgemeinen falsch ist. In der speziellen Situation,
wo B = O oder C = O ist, gilt aber in der Tat folgendes:
Satz 8.13 Für eine 2 × 2 Blockdreiecksmatrix ist
∣ A B
∣ ∣∣∣ O D ∣ = det A det D bzw. A O
C D ∣ = det A det D .
(8.18)
Beweis: Wir betrachten den Fall der oberen Blockdreiecksmatrix und
nehmen an, A sei ein m×m Block und D ein (n−m)×(n−m) Block. In
unserer Definition (8.6) leisten offenbar nur jene Permutationen p einen
Beitrag, für die p(1), . . . , p(m) ∈ {1, . . . , m} gilt; die anderen führen auf
mindestens einen Faktor aus B = O. Die relevanten Permutationen p
haben also die Form
(1, . . . , m; m+1, . . . n) ↦→ ( p A (1), . . . , p A (n); m+p D (1), . . . , m+p D (n−m) )
mit p A ∈ S m und p D ∈ S n−m . Dabei ist sign p = sign p A · sign p D . Aus
der Summe in (8.6) wird damit
∣ A B
O D ∣ =
∑
sign p A · sign p D · a 1,pA (1) · · · a m,pA (m) ×
p A ∈S m
p D ∈S n−m × d 1,pD (1) · · · d n−m,pD (n−m)
= ∑
p A ∈S m
sign p A · a 1,pA (1) · · · a m,pA (m) ×
×
∑
p D ∈S n−m
sign p D · d 1,pD (1) · · · d n−m,pD (n−m)
= det A det D .
Durch rekursive Anwendung ergibt sich aus diesem Satz sofort:
Korollar 8.14 Die Determinante einer Blockdreiecksmatrix ist
gleich dem Produkt der Determinanten der diagonalen Blöcke.
LA-Skript 8-12 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht