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Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

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<strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> (2007)<br />

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n<br />

erhalten wir wegen<br />

‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 − ‖y − x‖ 2 = x 2 1 + x 2 2 + y1 2 + y2 2 − (y 1 − x 1 ) 2 − (y 2 − x 2 ) 2<br />

= 2 (x 1 y 1 + x 2 y 2 )<br />

= 2 〈x, y〉<br />

schliesslich<br />

cos ϕ =<br />

〈x, y〉<br />

‖x‖‖y‖ . (2.46)<br />

Wir wollen die Ergebnisse (2.43), (2.44) und (2.46) auf den R n<br />

und den C n verallgemeinern. Dazu schreiben wir wieder E n statt<br />

“R n oder C n ”.<br />

Definition: Das (Euklidische) Skalarprodukt oder innere<br />

Produkt [inner product] zweier Vektoren x, y ∈ E n ist die Zahl<br />

〈x, y〉 definiert durch<br />

〈x, y〉 :≡ x H y =<br />

n∑<br />

x k y k , (2.47)<br />

k=1<br />

was sich im Falle reeller Vektoren reduziert auf<br />

〈x, y〉 :≡ x T y =<br />

n∑<br />

x k y k . (2.48)<br />

k=1<br />

<br />

Es gelten die folgenden Eigenschaften:<br />

Satz 2.9 Für das Skalarprodukt (2.48) im R n gilt:<br />

(S1) Es ist linear im zweiten Faktor:<br />

〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉 für alle x, y, z ∈ R n ,<br />

〈x, α y〉 = α 〈x, y〉 für alle x, y ∈ R n , α ∈ R .<br />

(S2) Es ist symmetrisch:<br />

(S3) Es ist positiv definit:<br />

〈x, y〉 = 〈y, x〉 für alle x, y ∈ R n .<br />

〈x, x〉 ≥ 0 für alle x ∈ R n ,<br />

〈x, x〉 = 0 =⇒ x = o .<br />

Für das Skalarprodukt (2.47) im C n gelten (S1) und (S3) analog<br />

für alle x, y, z ∈ C n und α ∈ C, aber (S2) wird ersetzt durch:<br />

(S2’) Es ist Hermitesch:<br />

〈x, y〉 = 〈y, x〉 für alle x, y ∈ C n .<br />

c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-17

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