Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
Satz 6.18 Die durch (6.63) definierte induzierte Operatornorm
hat die folgenden Eigenschaften:
(OpN1) Sie ist positiv definit:
‖F ‖ ≥ 0 (∀ F ∈ L(X, Y ) ) ,
‖F ‖ = 0 =⇒ F = O .
(OpN2) Sie ist dem Betrage nach homogen:
‖α F ‖ = |α| ‖F ‖ (∀ F ∈ L(X, Y ), ∀ α ∈ E ) .
(OpN3) Die Dreiecksungleichung gilt:
‖F + G‖ ≤ ‖F ‖ + ‖G‖ (∀ F, G ∈ L(X, Y ) ) .
(6.70)
(OpN4) Für zusammengesetzte Abbildungen gilt:
‖G ◦ F ‖ ≤ ‖G‖ ‖F ‖ (∀ F ∈ L(X, Y ), G ∈ L(Y, Z) ) .
(6.71)
(OpN5) Sie ist kompatibel mit den Vektornormen in X, Y :
‖F x‖ Y ≤ ‖F ‖ ‖x‖ X (∀ F ∈ L(X, Y ), ∀ x ∈ X ) .
(6.72)
Beweis: (OpN1): Aus der Definition (6.63) ist klar, dass ‖F ‖ ≥ 0
gilt und dass ‖F ‖ = 0 bedeutet, dass F x = o für alle x, also F die
Nullabbildung O ist.
(OpN2): Unter Verwendung der Normeigeschaft (N2) in Y folgt, dass
‖αF ‖ =
sup ‖αF x‖ Y = sup (|α| ‖F x‖ Y )
‖x‖ X =1
‖x‖ X =1
= |α| sup ‖F x‖ Y = |α| ‖F ‖ .
‖x‖ X =1
(OpN3): Hier verwendet man u.a. die Dreiecksungleichung (N3) aus Y :
‖F + G‖ =
≤
≤
sup ‖(F + G)(x)‖ Y = sup ‖F x + Gx‖ Y
‖x‖ X =1
‖x‖ X =1
sup (‖F x‖ Y + ‖Gx‖ Y )
‖x‖ X =1
sup ‖F x‖ Y +
‖x‖ X =1
= ‖F ‖ + ‖G‖ .
sup
‖x‖ X =1
‖Gx‖ Y
(OpN5): Folgt sofort daraus, dass für festes x = ˜x gilt
‖F ˜x‖ Y ‖F x‖ Y
≤ sup = ‖F ‖ .
‖˜x‖ X ‖x‖ X =1 ‖x‖ X
(OpN4): Wir wenden (OpN5) zunächst auf G, dann auf F an, umzu
sehen, dass
‖(G ◦ F )(x)‖ Z = ‖G(F x)‖ Z ≤ ‖G‖ ‖F x‖ Y ≤ ‖G‖ ‖F ‖ ‖x‖ X .
LA-Skript 6-22 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht