Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 11 — Singulärwertzerlegung Lineare Algebra (2007)
Dabei können wir Eigenwerte und Eigenvektoren so ordnen, dass
σ 1 ≥ σ 2 ≥ · · · ≥ σ r > 0 , σ r+1 = · · · = σ n = 0 , (11.3)
worin r :≡ Rang A H A ist. Multiplizieren wir (11.2) von links mit
V H , so gilt wegen V H V = I n , dass
V H A H AV = V H VΣ 2 n = Σ 2 n . (11.4)
In den Kolonnen v k von V ausgedrückt heisst das, dass
oder
‖Av k ‖ 2 = 〈Av k , Av k 〉 = v H k A H Av k = σ 2 k (k = 1, . . . , n) ,
‖Av k ‖ = σ k (k = 1, . . . , n) . (11.5)
Ist r < n, so folgt insbesondere, dass Av k = o (k = r+1, . . . , n), das
heisst v r+1 , . . . , v n bilden eine Orthonormalbasis eines Unterraumes
von ker A ≡ N (A) ⊂ E n . Somit ist dim N (A) ≥ n−r, also nach der
Dimensionsformel (5.36) Rang A = n − dim N (A) ≤ r. Anderseits
ist aber nach den Sätzen 5.16 (i) und 5.13
r = Rang A H A ≤ min{Rang A, Rang A H } = Rang A .
Folglich gilt Rang A H A = Rang A. Also ist dim N (A) = n − r, und
v r+1 , . . . , v n bilden eine Orthonormalbasis von N (A). Wir unterteilen
V entsprechend in
V = ( V r V ⊥
)
:≡
(
v1 . . . v r v r+1 . . . v n
)
. (11.6)
Die Kolonnen von V r spannen dabei den zu N (A) orthogonalen
Unterraum auf. Durch Beschränkung von A auf diesen Unterraum
haben wir statt (11.4)
V H r A H AV r = Σ 2 r :≡ diag {σ 2 1, . . . , σ 2 r} . (11.7)
Da hier nun Σ r regulär ist, können wir von links und rechts mit
Σ −1
r = Σ −T
r multiplizieren:
(
Σ
−T
r Vr H A H) ( )
AVr Σ −1
r = I r .
} {{ } } {{ }
= U H ≡: U
r
r
Die m×r Matrix
U r
:≡ AV r Σ −1
r (11.8)
hat also orthonormale Kolonnen u 1 , . . . , u r ∈ E m . Wir können diese
zu einer Orthonormalbasis von E m und damit U r zu einer unitären
Matrix U ergänzen:
U = ( U r U ⊥
)
:≡
(
u1 . . . u r u r+1 . . . u n
)
. (11.9)
Nach (11.8) ist AV r = U r Σ r , zudem haben wir AV ⊥ = O, was wir
zusammenfassen können in
A ( )
V r V ⊥ = ( ( )
) Σr O
U r U ⊥ . (11.10)
} {{ } } {{ } O O
= V = U
} {{ }
≡: Σ
LA-Skript 11-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht