Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Falls k ≤ i ist, folgt aus (3.4) durch rekursive Anwendung mit
j = 1, 2, . . . , k − 1
a ki = a (0)
ki
= l k1 r 1i + a (1)
ki
= . . .
= l k1 r 1i + l k2 r 2i + · · · + l k,k−1 r k−1,i + a (k−1)
ki
.
Ersetzen wir das letzte Glied gemäss (3.1) und (3.6) durch l kk r ki ,
so erhalten wir
a ki = l k1 r 1i + · · · + l k,k−1 r k−1,i + l kk r ki =
k∑
l kj r ji . (3.7)
j=1
Analog ergibt sich im Falle k > i aus (3.4) mit j = 1, 2, . . . , i − 1
a ki = a (0)
ki
= l k1 r 1i + a (1)
ki
= . . .
= l k1 r 1i + l k2 r 2i + · · · + l k,i−1 r i−1,i + a (i−1)
ki
.
Hier ersetzen wir das letzte Glied gemäss (3.3), so dass
a ki = l k1 r 1i + · · · + l k,i−1 r i−1,i + l ki r ii =
i∑
l kj r ji . (3.8)
j=1
Wegen der Dreiecksgestalt der Matrizen L und R lassen sich die
zwei Formeln (3.7) und (3.8) zusammenfassen zu
a ki =
n∑
l kj r ji ,
j=1
das heisst es gilt
A = LR . (3.9)
Durch die Gauss-Elimination wird also die Koeffizientenmatrix A
eines linearen Gleichungssystems implizit in ein Produkt einer Linksdreicksmatrix
L und einer Rechtsdreicksmatrix R zerlegt. Man nennt
deshalb diesen Hauptteil der Gauss-Elimination auch LR–Zerlegung
oder, in Anlehnung an die englische Terminologie, LU–
Zerlegung [LU decomposition], weil in der englischen Literatur
unsere Matrix R oft mit U bezeichnet wird.
Die Wirkung der Gauss-Elimination auf die Konstantenkolonne
lässt sich analog deuten: Statt (3.7) gilt
b k = l k1 c 1 + · · · + l k,k−1 c k−1 + l kk c k =
k∑
l kj c j , (3.10)
j=1
also
Lc = b . (3.11)
LA-Skript 3-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht