Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
und sind damit offensichtlich linear unabhängig. Weil nur n − r
Parameter wählbar sind, kann es nicht mehr linear unabhängige
Lösungen geben. Also bilden diese n − r Vektoren eine Basis des
Lösungsraumes L 0 , der folglich die Dimension n − r hat:
Satz 5.12 Bezeichnet r den Rang der Matrix A und L 0
Lösungsraum von Ax = o, so ist
den
dim L 0 ≡ dim N (A) ≡ dim ker A = n − r . (5.36)
Mit dem Identitätssymbol ≡ wollen wir hier betonen, dass im Prinzip
drei äquivalente Formulierungen vorliegen: es gilt nicht nur
dim L 0 = dim N (A) = dim ker A, sondern es ist aufgrund der
Definitionen L 0 = N (A) ≡ ker A.
Beispiel 5.7: In unserem Beispiel 1.4 auf Seite 1-11 in Kapitel 1
das wir auch als Beispiel 3.4 in Kapitel 3, Seite 3-11, betrachtet haben,
ist r = 5 und n − r = 9 − 5 = 4. Das zugehörige homogene System
wird durch die Gauss-Elimination reduziert auf die (1.18) entsprechende
Zeilenstufenform
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 1
1 ❦ 0 5 0 4 0 0 1 0 0
0 5 ❦ 4 3 2 1 0 0 0 0
0 0 0 5 ❦ 0 4 3 0 2 0
0 0 0 0 0 5 ❦ 3 2 1 0
0 0 0 0 0 0 1 ❦ 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(5.37)
aus der man leicht eine Basis von L 0 konstruiert. Dazu setzt man nacheinander
je eine der freien Variablen x 3 , x 5 , x 8 und x 9 eins, die anderen
null und rechnet die Werte der restlichen Variablen aus. Man beachte,
dass die Zeilenstufenform nicht die vereinfachte Gestalt (5.34) hat, und
deshalb auch die Basis nicht genau die gleiche Gestalt wie in (5.35) hat,
wobei hier allerdings die vielen Nullen in R zu vielen zusätzlichen Nullen
in der Basis führen:
⎛
x 1 =
⎜
⎝
−5
− 4 5
1
0
0
0
0
0
0
⎞
⎛
, x 2 =
⎟ ⎜
⎠ ⎝
−4
− 2 5
0
0
1
0
0
0
0
⎞
⎛
, x 3 =
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎞ ⎛
−1
− 14
125
0
8
25
0
, x 4 =
− 2 5
0
⎟ ⎜
1 ⎠ ⎝
0
0
23
125
0
− 6
25
0
− 1 5
0
0
⎞
1
(5.38)
Durch Vergleich von (5.36) mit der Dimensionsformel (5.28) sehen
wir, dass r gleich dem Rang der durch A gegebenen linearen Abbildung
ist.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-13
.
⎟
⎠