Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
Wie weit lässt sich die Abbildungsmatrix durch geeignete Wahl der
Basen vereinfachen?
Im Falle Y = X werden wir uns später im Zusammenhang mit
dem Eigenwertproblem ausgiebig mit dieser Frage beschäftigen. Der
Fall Y ≠ X ist einfacher, denn man kann statt einer zwei Basen
geschickt wählen:
Satz 5.20 Es sei F : X → Y eine lineare Abbildung, wobei
dim X = n, dim Y = m, Rang F = r gelte. Dann besitzt F
bezüglich geeignet gewählten Basen in X und Y die Abbildungsmatrix
( )
Ir O
A =
. (5.57)
O O
Beweis: Es seien {b 1 , . . . , b n } und {c 1 , . . . , c r } gleich gewählt wie im
Beweis von Satz 5.7. Zudem werde {c 1 , . . . , c r } gemäss Satz 4.9 zu einer
Basis {c 1 , . . . , c m } von Y ergänzt. Dann ist also
{
cj , j = 1, . . . , r,
F b j =
o , j = r + 1, . . . , n.
Da in der Kolonne j der Abbildungsmatrix gerade die Koordinaten von
F b j (bezüglich der Basis des Bildraumes) stehen, bekommen wir genau
die Matrix A von (5.57).
Beispiel 5.12: Im Falle des Ableitungsoperators D : p ∈ G 4 ↦→ p ′ ∈ U 3
aus Beispiel 5.11 genügt es, die monomiale Basis von G 4 umzuordnen
in {t 4 , t 2 , 1} und die monomiale Basis von U 3 zusätzlich zu skalieren:
{4t 3 , 2t}. Dann hat man als Abbildungsmatrix statt A aus (5.53) einfach
( ) 1 0 0
à =
. (5.58)
0 1 0
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-21