Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Ist A singulär (aber nicht die Nullmatrix), wird κ 2 (A) = ∞. Ist A
fast singulär, ist κ 2 (A) gross, das heisst A ist schlecht konditioniert.
Beispiel 10.6: Wir betrachten wieder die bereits mehrmals verwendete
Matrix aus (9.9),
⎛
−7 2
⎞
−6
A = ⎝ 12 −2 12 ⎠ ,
12 −3 11
die das Spektrum σ(A) = {1, 2, −1} hat. Der grösste Betrag eines Eigenwertes
ist hier also 2, der kleinste 1, und der Quotient aus grösstem
und kleinstem Eigenwertbetrag ist damit bloss 2. Aber da A nicht symmetrisch
ist, sind diese Zahlen nicht relevant für Spektralnorm und Konditionszahl,
denn man muss die Eigenwerte von A T A betrachten, beziehungsweise
deren Quadratwurzel.
hat das Spektrum
Es ergibt sich
⎛
A T A = ⎝
337 −74 318
−74 17 −69
318 −69 301
σ(A T A) = {0.0044.., 1.4063.., 653.5893..} .
‖A‖ 2 = √ 653.5893.. = 25.5654.. , ‖A −1 ‖ 2 = 1/ √ 0.0044.. = 15.1587..
und
√
λ3
κ 2 (A) = = √ 150186.5876.. = 387.5391.. .
λ 1
Die Norm einer Matrix kann also viel grösser sein als der grösste Eigenwert
und die Kondition kann viel grösser sein als der grösste Quotient
der Eigenwerte.
Beispiel 10.7: Sehr bekannte Beipiele liefern auch die sogenannten
Hilbert-Matrizen [Hilbert matrices]
⎛
⎞
1 1
1
1
2 3
. . .
n
1 1 1
1
2 3 4
. . .
n+1
1 1 1
1
H n :≡
3 4 5
. . . n+2
(10.88)
⎜
. ⎝ . . . .. .
⎟
⎠
1 1 1
1
n n+1 n+2
. . .
2n−1
Es sind Hankel–Matrizen, das heisst h ij hängt nur von der Summe i + j
ab (vgl. Abschnitt 2.9). Hankel–Matrizen sind notorisch für ihre schlechte
Kondition, und die Hilbert–Matrizen ganz besonders. Es ist zum Beispiel
⎞
⎠
‖H 5 ‖ 2 = 1.5671 ,
‖H −1
5 ‖ 2 = 304142.8416.. ,
κ 2 (H 5 ) = 476607.2502.. , .
LA-Skript 10-18 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht