Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Satz 2.7 (i) Für symmetrische (quadratische) Matrizen A, B
gilt:
AB = BA ⇐⇒ AB symmetrisch. (2.36)
(ii) Für beliebige Matrizen gilt:
A T A und AA T sind symmetrisch, (2.38)
Analoge Aussagen gelten im Hermiteschen Fall.
Beweis:
(2.35)
(i) Für symmetrische Matrizen mit AB = BA folgt nach
(AB) T = (BA) T = A T B T = AB ,
also ist AB symmetrisch. Ist umgekehrt AB symmetrisch, hat man
AB = (AB) T = B T A T = BA .
(ii) Zum Beispiel ist nach (2.32) und (2.35)
also ist A T A symmetrisch.
(A T A) T = A T (A T ) T = A T A ,
Mit Satz 2.6 kann man leicht die Aussagen der Sätze 2.3 und 2.4
betreffend die Interpretation der Kolonnenstruktur einer Matrix
übertragen auf eine analoge Interpretation der Zeilenstruktur. Um
die Zeilenstruktur einer Matrix explizit zu machen, schreiben wir
auf unsere unkonventionelle Weise
⎛
A ≡: ⎜
⎝
⎞
a 1
a 2
⎟
. ⎠
a m
⎛
oder A ≡: ⎜
⎝
a 1
a 2
.
a m
worin a k der k-te Zeilenvektoren von A bezeichnet.
Nun können wir die Sätze 2.3 und 2.4 “transponieren”:
⎞
⎟
⎠ , (2.40)
Korollar 2.8 Werden die Zeilenvektoren der m × n–Matrix A
und der n × p–Matrix B gemäss
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a 1
b 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎝ . ⎠ , B = ⎝ . ⎠
a m b n
bezeichnet, und ist y = ( y 1 . . . y n
)
ein Zeilenvektor, so gilt:
und
yB = y 1 b 1 + y 2 b 2 + · · · + y n b n , e T i B = b i (2.41)
⎛
AB = ⎜
⎝
a 1 B
a 2 B
.
a m B
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
a 1 B
a 2 B
.
a m B
In (2.41) ist e T i wie üblich der i-te Zeilenvektor von I n .
⎞
⎟
⎠ . (2.42)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-15