Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
Beispiel 5.5: Die vier linearen Abbildungen (5.10)–(5.13), beschränkt
auf den Raum P 4 (d.h. m = 4), haben bezüglich der monomialen Basen
1, t, t 2 , . . . , t n in P n (n = 0, 3, 4, 5) folgende Abbildungsmatrizen:
⎛
⎞
0 0 0 0 0
E 2 = ( 1 2 4 8 16 ) 1 0 0 0 0
, M =
0 1 0 0 0
⎜ 0 0 1 0 0
,
⎟
⎝ 0 0 0 1 0 ⎠
0 0 0 0 1
⎛
⎞
⎛
⎞
1 2 4 8 16
0 1 0 0 0
⎜
D =
0 0 2 0 0
⎟
⎝ 0 0 0 3 0 ⎠ , F = 0 1 0 0 0
⎜ 0 0 2 0 0
⎟
⎝ 0 0 0 3 0 ⎠ .
0 0 0 0 4
0 0 0 0 4
Auch hier lassen sich im Falle X = E n , Y = E m die Zusammenhänge
etwas eleganter darstellen. Die Basen schreiben wir wieder
als Kolonnen von Matrizen B und C,
B = ( b 1 . . . b n
)
, C =
(
c1 . . . c m
)
, (5.19)
und wir definieren das Bild F B von B durch
F B :≡ ( F b 1 . . . F b n
)
. (5.20)
Dann schreibt sich (5.14)–(5.16) neu als
und es folgt
F B = C A , x = Bξ , y = Cη , (5.21)
Cη = y = F x = F Bξ = C Aξ . (5.22)
Da C linear unabhängige Kolonnen hat, ist also notwendigerweise
η = Aξ, wie in (5.18).
Nun zurück zur allgemeinen Theorie.
Definition: Eine eineindeutige lineare Abbildung von X auf Y
heisst Isomorphismus [isomorphism]. Ist X = Y , so heisst sie
Automorphismus [automorphism].
Lemma 5.1 Ist F : X → Y ein Isomorphismus, so ist die inverse
Abbildung F −1 : Y → X linear und auch ein Isomorphismus.
Beweis: Es seien y, w ∈ Y , x :≡ F −1 y, z :≡ F −1 w und β, γ ∈ E.
Dann schliessen wir aus der Linearität von f, dass
βF −1 y + γF −1 w = F −1 F (βF −1 y + γF −1 w)
= F −1 (βF F −1 y + γF F −1 w)
↑
F linear
= F −1 (βy + γw) ,
woraus folgt, dass F −1 linear ist. Dass mit F auch F −1 bijektiv ist, ist
allgemein gültig und klar.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-5