Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme Lineare Algebra (2007)
Die allgemeine Lösung [general solution] des Systems bekommt man,
indem man die freien Variablen als Parameter auffasst, was man dadurch
betonen kann, dass man sie entsprechend umbenennt:
x 3 = α , x 5 = β , x 8 = γ , x 9 = δ . (1.20)
Dann ergibt das Rückwärtseinsetzen:
x 7 = 1 ,
x 6 = −[1 + δ + 2γ]/5 ,
x 4 = [4 − 6δ + 8γ]/25 ,
x 2 = [43 + 23δ − 14γ − 50β − 100α]/125 ,
x 1 = 1 − γ − 4β − 5α .
(1.21)
Die allgemeine Lösung besteht aus (1.20) und (1.21). Es ist eine vierparametrige
Schar von Lösungen.
Man kann sich fragen, ob es nicht auch eine ganzzahlige Lösung gibt.
Das ist alles andere als klar und im allgemeinen nur mit grossem Aufwand
entscheidbar. Man könnte natürlich alle 9-Tuppel mit z.B. x i ∈
{−20, −19, . . . , −1, 0, 1, . . . , 19, 20} durchtesten, das sind 41 9 ≈ 3.274 ·
10 14 Tuppel. (Es gibt auch effizientere Vorgehensweisen!) So würde man
unter anderem die folgenden drei ganzahligen Lösungen finden:
(1, 1, −1, 0, 1, −1, 1, 1, 2) , (1.22a)
(−15, −1, 1, 4, −1, −7, 1, 15, 4) ,
(−17, −2, 1, 2, 2, −2, 1, 5, −1) .
(1.22b)
(1.22c)
Wie erkennt man wohl allgemein die Fälle, wo es keine Lösung gibt?
Das einfachste Beispiel ist die Gleichung 0x 1 = 1. Im Schlussschema
(1.16) des modifizierten Beispiels 1.3 hatten wir analog die
unlösbare Gleichung 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 3.
Beispiel 1.5: Im Schlussschema (1.18) wären wir hier ebenso auf
ein unlösbares Teilsystem gestossen, wenn in den zwei letzten Gleichungen
die rechte Seite nicht null gewesen wäre. Man verifiziert leicht, dass
dies eintritt, wenn man im Ausgangssystem (1.17) die zwei letzten Konstanten
19 und 16 durch ein anderes Zahlenpaar ersetzt. Genauer: das
Gleichungssystem
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 1
1 0 5 0 4 0 0 1 0 1
0 0 0 5 0 24 16 8 6 12
1 5 9 3 6 1 0 1 0 3
1 10 13 11 8 6 3 1 2 8
0 5 4 18 2 18 12 2 7 13
1 10 13 21 8 24 16 5 8 c 6 + 19
0 5 4 13 2 24 17 6 7 c 7 + 16
(1.23)
mit noch wählbaren Parametern c 6 und c 7 hat die Zeilenstufenform
LA-Skript 1-14 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht