Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
und
dim U + dim U ⊥ = dim V . (6.43)
Die letzte Beziehung gilt analog auch für nicht-orthogonale komplementäre
Unterräume. Wie bei der allgemeinen direkten Summe
von Unterräumen lässt sich der Begriff der Summe orthogonaler
Unterräume sofort auf mehrere Terme ausdehnen. Zum Beispiel
könnte man oben den Unterraum U selbst wieder in zwei orthogonale
Komplemente aufteilen, falls dim U > 1 ist.
Beispiel 6.9: Ist b 1 , . . . , b n eine orthogonale Basis von V und setzt
man U k :≡ span {b k }, so gilt
V = U 1 ⊕ U 2 ⊕ · · · ⊕ U n , U j ⊥ U k for j ≠ k , (6.44)
das heisst V ist die direkte Summe von n zueinander orthogonalen eindimensionalen
Unterräumen aufgespannt durch die einzelnen Basisvektoren.
Eine interessante Anwendung ergibt sich im Zusammenhang mit
Kern (Nullraum) und Bild (Kolonnenraum) einer Matrix. Es sei
A ∈ E m×n eine beliebige Matrix und x ∈ E n . Es gilt Ax = o genau
dann, wenn x auf allen Zeilen von A (bzw. von A falls E = C)
senkrecht steht, das heisst wenn x auf allen Kolonnen von A T (bzw.
A H ) senkrecht steht. Wir haben also, falls E = R,
x ∈ N (A) ⇐⇒ Ax = o ⇐⇒ x ⊥ R(A T ) ⇐⇒ x ∈ ( R(A T ) ) ⊥
und, falls E = C,
x ∈ N (A) ⇐⇒ Ax = o ⇐⇒ x ⊥ R(A H ) ⇐⇒ x ∈ ( R(A H ) ) ⊥
.
Erinnern wir uns noch daran, dass nach Korollar 5.14 gilt Rang A =
Rang A H = Rang A T , so erhalten wir:
Satz 6.9 Für eine komplexe m × n–Matrix mit Rang r gilt
N (A) = ( R(A H ) ) ⊥
⊂ E n , N (A H ) = (R(A)) ⊥ ⊂ E m .
Insbesondere ist
und
(6.45)
N (A) ⊕ R(A H ) = E n , N (A H ) ⊕ R(A) = E m (6.46)
dim R(A) = r , dim N (A) = n − r ,
dim R(A H ) = r , dim N (A H ) = m − r .
(6.47)
Bei reellen Matrizen kann überall A H durch A T ersetzt werden.
Definition: Die zwei Paare komplementärer Unterräume N (A),
R(A H ) und N (A H ), R(A) nennt man die vier fundamentalen
Unterräume [fundamental subspaces] der Matrix A.
LA-Skript 6-14 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht