Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme Lineare Algebra (2007)
x 1 x 2 x 3 1
0 1 4 1
2 ♠ 4 −4 1
4 8 −3 7
0
2
x 1 x 2 x 3 1
0 1 4 1
2 ♠ 4 −4 1
4 8 −3 7
0
2
x 1 x 2 x 3 1
2 ♠ 4 −4 1
0 1 4 1
4 8 −3 7
0
x 1 x 2 x 3 1
2 4 −4 1
0 1 ♠ 4 1
0 0 5 5
0
x 2 x 3 1
1 ♠ 4 1
0 5 5
x 1 x 2 x 3 1
2 ♠ 4 −4 1
0 1 ♠ 4 1
0 0 5♠ 5
x 3 1
5♠ 5
Hier passiert im zweiten Eliminationsschritt (mit Pivot 1) nichts mehr,
denn nach dem Zeilenvertauschen und dem ersten Schritt hat das Schema
bereits obere Dreiecksgestalt. Mit anderen Worten, hier hat das erste
Restgleichungssystem (der Gösse 2×2) per Zufall Dreiecksgestalt.
Im letzten Schema links haben wir nun alle Pivotelemente markiert; das
wird später im allgemeinen Fall wichtig sein.
Es bleibt noch das Rückwärtseinsetzen:
5x 3 = 5 =⇒ x 3 = 5/5 = 1
x 2 + 4x 3 = 1 =⇒ x 2 = 1 − 4 · 1 = −3
2x 1 + 4x 2 − 4x 3 = 1 =⇒ x 1 = [1 − 4 · (−3) + 4 · 1]/2 = 17/2 .
Dieses Eliminationsverfahren kann auch so interpretiert werden,
dass man schrittweise das gegebene System durch elementare Operationen
in andere Systeme umformt, die die gleiche Lösungsmenge
haben. Z.B. hat das gegebene System (1.4) die gleiche Lösung wie
das System (1.4), das Dreiecksgestalt hat. Da dieses offensichtlich
nur eine Lösung hat (denn beim Rückwärtseinsetzen haben wir hier
keine Wahlmöglichkeit), ist auch das gegebene System eindeutig
lösbar.
In diesem Beispiel gibt es nur eine Lösung, aber unser Vorgehen
würde die Lösungsmenge auch nicht verändern, wenn es mehrere
Lösungen gäbe. Dies folgt daraus, dass alle Eliminationsschritte
umkehrbar sind.
Als elementare Zeilen-Operation [elementary row operation]
zählen:
i) das Vertauschen von Gleichungen (Zeilen),
ii) die Addition/Subtraktion eines Vielfachen der Pivotgleichung
(Pivotzeile) zu/von einer anderen Gleichung (Zeile).
LA-Skript 1-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht