Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Beispiel 2.25: Die Einheitsmatrix I n ist natürlich invertierbar und
ist ihre eigene Inverse, denn I n I n = I n = I n I n .
Satz 2.16 Ist A invertierbar, so ist die Inverse eindeutig bestimmt.
Beweis:
Angenommen X und Y sind Inverse von A, dann ist
X = X I = X(AY) = (XA)Y = I Y = Y .
Man kann die Bedingung für die Inverse effektiv abschwächen: Es
genügt, dass A X = I oder X A = I gilt, dann folgt die andere
Beziehung automatisch. Dies ist enthalten in
Satz 2.17 Die folgenden Aussagen über eine n×n–Matrix A sind
äquivalent:
i) A ist invertierbar.
ii) Es gibt eine n × n–Matrix X mit AX = I n .
iii) Es gibt genau eine n × n–Matrix X mit AX = I n .
iv) A ist regulär, d.h. Rang A = n.
Beweis:
Wir zeigen, dass (i) =⇒ (ii) =⇒ (iv) =⇒ (iii) =⇒ (i).
Wir nehmen also an, A sei invertierbar, d.h. (i) gelte. Dann ist (ii) mit
X = A −1 erfüllt. Hieraus folgt anderseits, dass das Gleichungssystem
Ax = b für jedes b die Lösung x :≡ Xb hat, denn nach dem Assoziativgesetz
der Matrizen-Multiplikation gilt
Ax = A(Xb) = (AX)b = I n b = b .
Nach Korollar 1.7 folgt, dass es für jedes b genau eine Lösung gibt und
dass Rang A = n ist, also (iv) gilt.
Bezeichnet e j wieder die j-te Kolonne von I n , so haben dann umgekehrt
die Systeme Ax = e j (j = 1, . . . , n) alle genau eine Lösung, was bedeutet,
dass AX = I n eine eindeutige Lösung X hat. Aus AX = I n ergibt
sich weiter
A(X + XA − I n ) = AX + A(XA) − AI n
= I n + (AX)A − A
= I n + A − A
= I n .
Da X die einzige Lösung von AX = I n ist, folgt, dass X + XA − I n = X
ist, also auch XA = I n gilt, d.h. X ist die Inverse von A. Es gilt somit
(i).
Die Eigenschaften “regulär” und “invertierbar” sind also äquivalent,
und man käme deshalb mit einer der zwei Bezeichnungen aus. Meist
bevorzugt man die Bezeichung regulär.
Als nächstes stellen wir Eigenschaften der Inversen zusammen.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-27