Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
Wir können uns damit nicht nur Schreibarbeit sparen, wichtiger
ist, dass wir die in diesem Schema auszuführenden Operationen
besser veranschaulichen und damit auch leichter auf den Computer
übertragen — sprich programmieren — können als bei Verwendung
des ausgeschriebenen Systems (1.1). Mit anderen Worten, das Schema
wird einerseits zum Rechnen von Hand angewandt (was wir nur
zur Illustration ausführen) und erlaubt uns anderseits besser zu
verstehen, was in der Rechnung abläuft.
Das Schema (1.3) hat offenbar einerseits Zeilen [rows] und anderseits
Spalten oder Kolonnen [columns].
Wir wollen nun zuerst ein Zahlenbeispiel mit m = n = 3 auf konventionelle
Weise lösen und dann die Rechnung auf das Schema
übertragen.
Beispiel 1.1:
2x 1 − 2x 2 + 4x 3 = 6
−5x 1 + 6x 2 − 7x 3 = −7
3x 1 + 2x 2 + x 3 = 9 .
(1.4)
Wir könnten wie üblich x 1 eliminieren, indem wir die erste Gleichung
nach x 1 auflösen und den so erhaltenen Ausdruck für x 1 in die anderen
beiden Gleichungen einsetzen. Wir können das Gleiche erreichen,
indem wir geeignete Vielfache der ersten Zeile von den beiden anderen
subtrahieren.
Hier subtrahieren wir das −5/2-fache der ersten Gleichung von der zweiten
und das 3/2-fache der ersten Gleichung von der dritten.
2x 1 − 2x 2 + 4x 3 = 6
x 2 + 3x 3 = 8
5x 2 − 5x 3 = 0 .
Um auch noch x 2 zu eliminieren, können wir das 5-fache der zweiten
Gleichung von der dritten subtrahieren:
2x 1 − 2x 2 + 4x 3 = 6
x 2 + 3x 3 = 8
− 20x 3 = −40 .
(1.5)
Dieses System hat obere Dreieicksgestalt [upper triangular form] und
lässt sich auflösen, indem man aus der letzten Gleichung die letzte Variable
bestimmt, dann aus der zweitletzten Gleichung die zweitletze Variable,
und so fort.
− 20x 3 = −40 =⇒ x 3 = (−40)/(−20) = 2
x 2 + 3x 3 = 8 =⇒ x 2 = 8 − 3 · 2 = 2
2x 1 − 2x 2 + 4x 3 = 6 =⇒ x 1 = (6 + 2 · 2 − 4 · 2)/2 = 1 .
Man nennt dieses rekursive Lösen Rückwärtseinsetzen [back substitution],
weil man bei x n mit Auflösen anfängt.
Wir können die Reduktion des gegebenen Systems (1.4) auf das
Dreieckssystem (1.5) kompakter darstellen, indem wir die relevanten
Zahlen in ein Eliminationsschema eintragen. Wir zeigen links
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-3