Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 3 — LR–Zerlegung
Kapitel 3
Die LR–Zerlegung
3.1 Die Gauss-Elimination als LR–Zerlegung
Wir kommen zurück auf die Gauss-Elimination und werden hier
die Reduktion einer Matrix auf Dreiecks- oder Zeilenstufenform als
Matrixzerlegung interpretieren. Dazu modifizieren wir unsere Bezeichungen
aus Kapitel 1: Die resultierende Zeilenstufenmatrix wird
neu mit R = ( r kj
)
bezeichnet und die dazugehörende rechte Seite
als c = ( c 1 . . . c n
) T. Diese neuen Bezeichnungen werden in
den Formeln berücksichtigt, sobald die entsprechenden Elemente
definert worden sind, also sobald die Pivotzeile gewählt worden ist.
Wir betrachten zuerst in diesem Abschnitt den Fall eines Systems
Ax = b mit regulärer quadratischer Matrix, in dem R ja eine
reguläre n × n–Rechtsdreicksmatrix ist:
⎛
⎞
r 11 r 12 · · · r 1n
0 r 22 · · · r 2n
R = ⎜
⎝
.
. .. . ..
⎟
. ⎠ .
0 · · · 0 r nn
Wir nehmen anfänglich an, dass keine Zeilenvertauschungen nötig
sind. Für den j-ten Schritt lauten die Umbenennungen und die
relevanten Formeln (1.10)–(1.11b) in den neuen Bezeichnungen:
r ji :≡ a (j−1)
ji (i = j , . . . , n) , (3.1)
c j
:≡ b (j−1)
j , (3.2)
l kj := a (j−1)
kj
/r jj (k = j + 1, . . . n), (3.3)
a (j)
ki
b (j)
k
:= a (j−1)
ki
− l kj r ji , (i = j + 1, . . . , n ,
k = j + 1, . . . n), (3.4)
:= b (j−1)
k
− l kj c j (k = j + 1, . . . n) . (3.5)
Dabei sind die Koeffizienten l kj (k > j) ja die Multiplikatoren, mit
denen die Pivotzeilen multipliziert werden. Wir setzen zusätzlich
l kj :≡ 0 (k < j), l jj :≡ 1 , (3.6)
so dass L :≡ (l kj ) eine n × n–Linksdreiecksmatrix ist:
⎛
⎞
l 11 0 · · · 0
. l
L = 21 l 22 .. .
⎜
⎝ . ⎟
. . .. 0 ⎠ .
l n1 l n2 · · · l nn
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 3-1